二項式定理
二項式定理(英語:Binomial theorem)描述了二項式的冪的代數展開。根據該定理,可以將兩個數之和的整數次冪諸如展開為類似項之和的恆等式,其中、均為非負整數且。系數是依賴於和的正整數。當某項的指數為0時,通常略去不寫。例如:[1]
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歷史
編輯二項式系數的三角形排列通常被認為是法國數學家布萊茲·帕斯卡的貢獻,他在17世紀描述了這一現象[3]。但早在他之前,就曾有數學家進行類似的研究。例如,古希臘數學家歐幾里得於公元前4世紀提到了指數為2的情況[4][5]。公元前三世紀,印度數學家青目探討了更高階的情況。帕斯卡三角形的雛形於10世紀由印度數學家大力羅摩發現。在同一時期,波斯數學家卡拉吉[6]和數學家兼詩人歐瑪爾·海亞姆得到了更為普遍的二項式定理的形式。13世紀,中國數學家楊輝也得到了類似的結果[7]。卡拉吉用數學歸納法的原始形式給出了二項式定理和帕斯卡三角形(巴斯卡三角形)的有關證明[6]。艾薩克·牛頓勳爵將二項式定理的系數推廣到有理數[8]。
定理的陳述
編輯根據此定理,可以將 的任意次冪展開成和的形式
其中每個 為一個稱作二項式系數的特定正整數,其等於 。這個公式也稱二項式公式或二項恆等式。使用求和符號,可以把它寫作
後面的表達式只是將根據 與 的對稱性得出的,通過比較發現公式中的二項式系數也是對稱的。 二項式定理的一個變形是用 1 來代換 得到的,所以它只涉及一個變量。在這種形式中,公式寫作
或者等價地
幾何釋義
編輯對於正值 和 ,二項式定理,在 時是在幾何上的明顯事實,邊為 的正方形,可以切割成1個邊為 的正方形,1個邊為 的正方形,和2個邊為 和 的長方形。對於 ,定理陳述了邊為 的立方體,可以切割成1個邊為 的立方體,1個邊為 的立方體,3個 長方體,和3個 長方體。
在微積分中,此圖解也給出導數 的幾何證明[9]。設 且 ,將 解釋為 的無窮小量改變,則此圖解將無窮小量改變,顯示為 維超立方體 :
其中(針對 的)線性項的系數是 ,將公式代入採用差商的導數定義並取極限,意味着忽略高階項 和更高者,產生公式: 。若再進行積分,這對應於應用微積分基本定理,則得到卡瓦列里求積公式: 。
證明
編輯當 ,
假設二項展開式在 時成立。若 ,
組合方法
編輯考慮 ,共7個括號相乘,從7個括號選出其中的4個括號中的 ,再從剩餘的3個括號中選出3個 相乘,便得一組 ,而這樣的選法共有 種,故總共有 個 ;其他各項同理。
同理, ,共 個括號相乘,從 個括號選出其中的 個括號中的 ,再從剩餘的 個括號中選出 個 相乘,便得一組 ,而這樣的選法共有 種,故總共有 個 ;其他各項同理。
不盡相異物排列方法
編輯考慮 ,每一個括號可以出 或出 ,而最後要有4個 、3個 相乘,這形同 的「不盡相異物排列」,其方法數為 ,恰好等於 ;其他各項同理。
同理, ,每一個括號可以出 或出 ,而最後要有 個 、 個 相乘,這形同 的「不盡相異物排列」,其方法數為 ,恰好等於 ;其他各項同理。
一般形式的證明
編輯通常二項式定理可以直接使用泰勒公式進行證明. 下面的方法不使用泰勒公式
設 , 。注意只有當 時上述兩個函數才收斂
- 首先證明 收斂於 。這裏省略
- 之後,易得 滿足微分方程︰ 。用求導的一般方法就能得到這個結論,這裏省略
- 再證明 亦滿足上述微分方程︰
因為
於是
因為
- 根據除法定則,
應用
編輯牛頓以二項式定理作為基礎發明出了微積分[10] 。其在初等數學中應用主要在於近似、估計以及證明恆等式等。
證明組合恆等式
編輯二項式定理給出的系數可以視為組合數 的另一種定義。 因此二項式展開與組合數的關係十分密切。 它常常用來證明一些組合恆等式。
- (1)證明
可以考慮恆等式 。 展開等式左邊得到: 。 注意這一步使用了有限求和與乘積可以交換的性質。 同時如果展開等式右邊可以得到 。 比較兩邊冪次為 的項的系數可以得到: 。 令 ,並注意到 即可得到所要證明的結論。
- (2)證明
因為
令 ,代入上式,得
多倍角恆等式
編輯在複數中,二項式定理可以與狄默夫公式結合,成為多倍角公式[11]。根據狄默夫公式:
通過使用二項式定理,右邊的表達式可以擴展為
由狄默夫公式,實部與虛部對應,能夠得出
即二倍角公式。同樣,因為
所以藉狄默夫公式,能夠得出
整體而言,多倍角恆等式可以寫作
和
e級數
編輯使用二項式定理能得出
第 項之總和為
因為 時,右邊的表達式趨近1。因此
推廣
編輯該定理可以推廣到對任意實數次冪的展開,即所謂的牛頓廣義二項式定理:
。其中 。
多項式展開
編輯對於多元形式的多項式展開,可以看做二項式定理的推廣:[15][16]
.
證明:
數學歸納法。對元數 做歸納:
當 時,原式為二項式定理,成立。
假設對 元成立,則:
參見
編輯參考文獻
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參考書目
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- Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren. (5) Binomial Coefficients. Concrete Mathematics 2nd. Addison Wesley. 1994: 153–256. ISBN 0-201-55802-5. OCLC 17649857.
外部連結
編輯- Binomial Theorem(頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) - 史蒂芬·沃爾夫勒姆
- "Binomial Theorem (Step-by-Step)"(頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram 演示項目, 2007.
- The Binomial Theorem - Interactive Mathematics(頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)
- Binomial Expansion - HyperPhysics