在数学中，交换环上的代数或多元环是一种代数结构，上下文不致混淆时通常迳称代数。
本页面中的环都是指有单位的环，并使用么环一词表示则是不一定有单位的环。
给定一个交换环 
。
给定一个四元组 
。如果以下两个条件成立：
是一个 -模。
是一个 
的内部运算（即
），并且是 -双线性的。也就是说内部运算 符合以下三点：
那么我们说四元组 
是一个 上的代数（或称 -代数），或简称集合 是一个 -代数。
设 为一个 -代数。
- 如果内部运算 符合结合律，那么我们说 是一个结合代数。
- 如果内部运算 有一个单位元（即
），那么此单位元是唯一的并且我们说 是一个有单位的代数。
- 如果内部运算 符合交换律，那么我们说 是一个交换代数。
注：有些作者用结合代数来称呼结合且有单位的代数，或是用交换代数来称呼结合、有单位且交换的代数。本页面使用上述段落给的定义而不采用这些称呼。
一样给定一个交换环 。
给定一个四元组 。 这是一个 上的结合代数（
结合且有单位的代数、 结合、有单位且交换的代数）当且仅当以下三个条件成立：
- 是一个 -模。
是一个环（ 一个幺环、 一个交换环）。- 是一个 的内部运算（即 ），并且是 -双线性的。
注：上述条件中的第三个条件在第一及第二条件成立下等价为：
- 是一个 的内部运算（即 ），并符合
上述只是将最初定义重整理一次。然而我们可以用别种结构来理解结合且有单位的代数：
- 给定一个结合且有单位的 -代数 就等于给定一个二元组
：其中 是一个环，而 
是一个满足
的环同态。（
代表环 的中心，也就是 
）。
原因是如果 是一个结合且有单位的 -代数，那么 是一个环并且 
是一个环同态，满足 。反过来看，如果 是一个环，而 是一个满足 的环同态，那么我们可以定义外部运算
（即
）。 上环的结构与此外部运算结构使其成为一个 -模并且成为一个结合且有单位的 -代数。
将上述性质套用在交换环上，我们便可得到结合、有单位且交换的代数的另一种看法：
- 给定一个结合、有单位且交换的 -代数 就等于给定一个二元组 ：其中 是一个交换环，而 是一个的环同态。
