位移场

力学中的位移场是指物体当中的所有点，其位移向量所组成的向量场^[1]^[2]。位移向量以一个点或是粒子原来的位置为准，标明其新的位置。例如，固体形变的效果就可以用位置场来表示。

公式

在考虑位移之前，需要定义形变之前的状态。此状态下，所有点的座标都知道，而且可以用以下函数描述： ${\vec {R}}_{0}:\Omega \to P$ 其中

${\vec {R}}_{0}$ 是位移向量
$\Omega$ 是物体的所有点
$P$ 是物体的所有点在空间中的位置。

此一状态也常常是没有外力的状态。

给定物体的其他状态，其中所有点的座标可以用 ${\vec {R}}_{1}$ 来描述，则二个物体状态之间的位移场为： ${\vec {u}}={\vec {R}}_{1}-{\vec {R}}_{0}$ 其中 ${\vec {u}}$ 是位移场，物体的每一个点都有一个对应的位移向量。

位移分量

连续体的运动

物体的位移可以分为二个分量：刚体位移以及形变。

刚体位移包括物体的平移或旋转，物体的形状、大小都维持不变。
形变表示物体形状或大小的变化，从未形变的组态 $\kappa _{0}({\mathcal {B}})$ 变成形变后的组态 $\kappa _{t}({\mathcal {B}})$ 。

连续体组态的变化可以用位移场来描述。位移场是物体中所有点的位移向量组合成的场，可以找到形变后组态和形变前组态之间的关系。物体中二点之间的距离改变，若且唯若物体出现形变。若物体有位移，但没有形变，即为刚体运动。

位移梯度张量

依照Lagrange描述法及Eulerian描述法，可以定义两种位移梯度张量。

粒子 $i$ 的位移可以表示为下式。未变形组态 $P_{i}$ 的粒子，在变形组态 $p_{i}$ ，其位移向量为 $p_{i}-P_{i}$ ，以下表示为 $u_{i}$ 或 $U_{i}$ 。

物质坐标（Lagrangian描述法）

用 $\mathbf {X}$ 代替 $P_{i}$ ，用 $\mathbf {x}$ 代替 $p_{i}\,\!$ ，这二个都是从坐标系统原点到对应点的向量，可得位移向量的Lagrangian描述法： $\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}$ 其中 $\mathbf {e} _{i}$ 是定义空间（局部参考框架（英语：lab frame））坐标系统基的正交单位向量。

若用物质坐标表示位移场， $\mathbf {u}$ 会是 $\mathbf {X}$ 的函数，位移场是： $\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}$ 其中 $\mathbf {b} (t)$ 是表示刚体移动的位移向量。

位移向量相对物质坐标的偏导数可得物质位移梯度张量 $\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \,\!$ 。可得 $\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} =\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {R} =\mathbf {F} -\mathbf {R} \qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\alpha _{iK}=F_{iK}-\alpha _{iK}$ 其中 $\mathbf {F}$ 是物质位移梯度张量，而 $\mathbf {R}$ 为旋转。

空间坐标（Eulerian描述法）

在Eulerian描述法下，未变形组态的粒子 $P$ ，延伸到其变形组态的向量为位移向量： $\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}$ 其中 $\mathbf {E} _{i}$ 是定义物质坐标系统的基的正交单位向量。

若用空间坐标表示位移场， $\mathbf {U}$ 会是 $\mathbf {x}$ 的函数，位移场是： $\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}$

空间导数，也就是位移向量相对空间坐标的偏导数，即为空间位移梯度张量 $\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} \,\!$ ，可得 $\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} =\mathbf {R} ^{T}-\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} =\mathbf {R} ^{T}-\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-F_{Jk}^{-1}\,,$ 其中 $\mathbf {F} ^{-1}=\mathbf {H}$ 空间位移梯度张量。

物质坐标和空间坐标的关系

$\alpha _{Ji}$ 是物质坐标和空间坐标的单位向量 $\mathbf {E} _{J}$ 及 $\mathbf {e} _{i}\,\!$ 的方向馀弦，因此 $\mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}$

$u_{i}$ 和 $U_{J}$ 的关系为 $u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}$

已知 $\mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}$ 因此 $\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)$