力學中的位移場是指物體當中的所有點,其位移向量所組成的向量場[1][2]。位移向量以一個點或是粒子原來的位置為準,標明其新的位置。例如,固體形變的效果就可以用位置場來表示。

公式

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在考慮位移之前,需要定義形變之前的狀態。此狀態下,所有點的座標都知道,而且可以用以下函數描述:   其中

  •  是位移向量
  •  是物體的所有點
  •  是物體的所有點在空間中的位置。

此一狀態也常常是沒有外力的狀態。

給定物體的其他狀態,其中所有點的座標可以用 來描述,則二個物體狀態之間的位移場為:   其中 是位移場,物體的每一個點都有一個對應的位移向量。

位移分量

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連續體的運動

物體的位移可以分為二個分量:剛體位移以及形變。

  • 剛體位移包括物體的平移旋轉,物體的形狀、大小都維持不變。
  • 形變表示物體形狀或大小的變化,從未形變的組態 變成形變後的組態 

連續體組態的變化可以用位移場來描述。位移場是物體中所有點的位移向量組合成的場,可以找到形變後組態和形變前組態之間的關係。物體中二點之間的距離改變,若且唯若物體出現形變。若物體有位移,但沒有形變,即為剛體運動。

位移梯度張量

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依照Lagrange描述法及Eulerian描述法,可以定義兩種位移梯度張量。

粒子i的位移可以表示為下式。未變形組態 的粒子,在變形組態 ,其位移向量為 ,以下表示為  

物質坐標(Lagrangian描述法)

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 代替 ,用 代替 ,這二個都是從坐標系統原點到對應點的向量,可得位移向量的Lagrangian描述法:   其中 是定義空間(局部參考框架英語lab frame)坐標系統的正交單位向量

若用物質坐標表示位移場, 會是 的函數,位移場是:   其中 是表示剛體移動的位移向量。

位移向量相對物質坐標的偏導數可得物質位移梯度張量 。可得   其中 是物質位移梯度張量,而 為旋轉。

空間坐標(Eulerian描述法)

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在Eulerian描述法下,未變形組態的粒子 ,延伸到其變形組態的向量為位移向量:   其中 是定義物質坐標系統的基的正交單位向量。

若用空間坐標表示位移場, 會是 的函數,位移場是:  

空間導數,也就是位移向量相對空間坐標的偏導數,即為空間位移梯度張量 ,可得   其中 空間位移梯度張量。

物質坐標和空間坐標的關係

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 是物質坐標和空間坐標的單位向量  方向餘弦,因此  

  的關係為  

已知   因此  

結合變形組態以及未變形組態的坐標系統

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常常會疊合變形組態及未變形組態的坐標系統,是在 下的結果,而方向餘弦變成克羅內克δ函數  

在材料(未變形)的坐標裏,位移可以表示為:  

在空間(已變形)的坐標裏,位移可以表示為:  

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參考資料

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  1. ^ Continuum Mechanics - Kinematics. School of Engineering. Brown University. [2018-07-25]. (原始內容存檔於2024-05-07). 
  2. ^ 2.080 Lecture 3: The Concept of Stress, Generalized Stresses and Equilibrium (PDF). MIT OpenCourseWare. [2018-07-25]. (原始內容存檔 (PDF)於2022-02-05).