力学中的位移场是指物体当中的所有点,其位移向量所组成的向量场[1][2]。位移向量以一个点或是粒子原来的位置为准,标明其新的位置。例如,固体形变的效果就可以用位置场来表示。

公式

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在考虑位移之前,需要定义形变之前的状态。此状态下,所有点的座标都知道,而且可以用以下函数描述:   其中

  •  是位移向量
  •  是物体的所有点
  •  是物体的所有点在空间中的位置。

此一状态也常常是没有外力的状态。

给定物体的其他状态,其中所有点的座标可以用 来描述,则二个物体状态之间的位移场为:   其中 是位移场,物体的每一个点都有一个对应的位移向量。

位移分量

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连续体的运动

物体的位移可以分为二个分量:刚体位移以及形变。

  • 刚体位移包括物体的平移旋转,物体的形状、大小都维持不变。
  • 形变表示物体形状或大小的变化,从未形变的组态 变成形变后的组态 

连续体组态的变化可以用位移场来描述。位移场是物体中所有点的位移向量组合成的场,可以找到形变后组态和形变前组态之间的关系。物体中二点之间的距离改变,当且仅当物体出现形变。若物体有位移,但没有形变,即为刚体运动。

位移梯度张量

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依照Lagrange描述法及Eulerian描述法,可以定义两种位移梯度张量。

粒子i的位移可以表示为下式。未变形组态 的粒子,在变形组态 ,其位移向量为 ,以下表示为  

物质坐标(Lagrangian描述法)

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 代替 ,用 代替 ,这二个都是从坐标系统原点到对应点的向量,可得位移向量的Lagrangian描述法:   其中 是定义空间(局部参考框架英语lab frame)坐标系统的正交单位向量

若用物质坐标表示位移场, 会是 的函数,位移场是:   其中 是表示刚体移动的位移向量。

位移向量相对物质坐标的偏导数可得物质位移梯度张量 。可得   其中 是物质位移梯度张量,而 为旋转。

空间坐标(Eulerian描述法)

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在Eulerian描述法下,未变形组态的粒子 ,延伸到其变形组态的向量为位移向量:   其中 是定义物质坐标系统的基的正交单位向量。

若用空间坐标表示位移场, 会是 的函数,位移场是:  

空间导数,也就是位移向量相对空间坐标的偏导数,即为空间位移梯度张量 ,可得   其中 空间位移梯度张量。

物质坐标和空间坐标的关系

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 是物质坐标和空间坐标的单位向量  方向余弦,因此  

  的关系为  

已知   因此  

结合变形组态以及未变形组态的坐标系统

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常常会叠合变形组态及未变形组态的坐标系统,是在 下的结果,而方向余弦变成克罗内克δ函数  

在材料(未变形)的坐标里,位移可以表示为:  

在空间(已变形)的坐标里,位移可以表示为:  

相关条目

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参考资料

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  1. ^ Continuum Mechanics - Kinematics. School of Engineering. Brown University. [2018-07-25]. (原始内容存档于2024-05-07). 
  2. ^ 2.080 Lecture 3: The Concept of Stress, Generalized Stresses and Equilibrium (PDF). MIT OpenCourseWare. [2018-07-25]. (原始内容存档 (PDF)于2022-02-05).