开集

在数学上，特别是拓朴学中，开集是对实数开区间进行推广之后得到的抽象集合。

通常微积分的课程中，会借助欧式空间的距离去描述数列极限；直观上，当 $n$ 越来越大时数列 $x_{n}$ 跟 $a$ 要多靠近有多靠近的时候，就说 $a$ 是数列 $x_{n}$ 的极限，但这需要距离去严谨的描述“靠近程度”，开集就是来自于＂ $a$ 点附近＂这样的直观概念。类似的，函数极限也需要距离的概念去严谨定义。

满足$x^{2}+y^{2}=r^{2}$的点$(x,y)$着蓝色。满足$x^{2}+y^{2}<r^{2}$的点$(x,y)$着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。

定义

直观上，于“开集”或说“不含边界的集合”中任取一点，都可以找到一个以此点为圆心，且半径足够小到落在“开集”里的圆盘（但圆盘的边界可能不在开集内）。开集的严谨定义由此而来。

欧式空间

所谓的$n$维欧式空间，指的是囊括所有实数n-元组$(r_{1},\,\dots ,\,r_{n})$的集合（记为$\mathbb {R} ^{n}$）。 为了定义开集，可以推广勾股定理，将 $\mathbb {R} ^{n}$ 中任两点$x=(x_{1},\,\dots ,\,x_{n})$ 与 $y=(y_{1},\,\dots ,\,y_{n})$ 的欧式距离定义为：

$d_{n}(x,\,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-y_{i})}^{2}}}$

然后定义所谓的（$n$维）开球（open ball）：

$B(a,\,r):={\bigg \{}p\in \mathbb {R} ^{n}\,{\bigg |}\,d_{n}(a,\,p)<r{\bigg \}}$

也就是直观上，一个以$a$为球心，$r$为半径但不包含表面的球体。

这样就可以作如下的定义：

定义 — 
若 $O\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ，且对所有 $p\in O$ ，存在一个 $r>0$ ，使$B(p,\,r)\subseteq O$，那么就说子集$O$是 $\mathbb {R} ^{n}$中的一个开集。

也就是直观上，取开集 $O$ 的任意点 $x$ 都有一个以 $x$ 为球心的开球完全包含于 $O$ 。

赋距空间

只要把上节的欧式距离改成一般的度量，开集的概念很容易推广到赋距空间$(M,d)$中。

以下把$(M,d)$ 中的开球（open ball）定义成：

$B(a,\,\delta ):={\bigg \{}p\in M\,{\bigg |}\,d(a,\,p)<\delta {\bigg \}}$

这样就可以作如下的定义：

定义 — 
$U$ 是 $M$ 的子集，且对所有 $p\in U$，存在 $\delta >0$ 使$B(a,\,\delta )\subseteq U$ ，则称 $U$ 是 $M$ 的一个开集。

这的确推广了欧式空间部分的定义，因为欧式距离 $d_{n}$ 和$\mathbb {R} ^{n}$本身就组成了一个赋距空间$(\mathbb {R} ^{n},d_{n})$。

赋距空间的开集还会有以下的性质：

定理 — 
若 $(M,d)$ 为赋距空间，则

(1) $\varnothing$ 和 $M$ 也是 $M$ 的开集。

(2) 若 $A$ 和 $B$ 都是 $M$ 的开集，则 $A\cap B$ 也是 $M$ 的开集。

(3) ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)$ （ ${\mathcal {F}}$ 是 $M$ 的一个子集族），若所有 $O\in {\mathcal {F}}$ 都是 $M$ 的开集，则 $\bigcup {\mathcal {F}}$ 也是 $M$ 的开集。（也就是直观上，任意数量开集的联集也是开集）

证明

(1) 对每个$p\in M$都有$B(p,\,1)\subseteq M$，所以$M$是自己的一个开集；另外对所有$p\in M$都有$p\notin \varnothing$（直观上来说没有点可以当开球的球心），所以逻辑上不用验证是否有开球包含于$\varnothing$，就可以得到$\varnothing$满足开集的定义 （直观上来说，前提为假的话，不论结论是否为真，“前提=>结论”都是对的）。$\Box$ (2) 若$p\in A\cap B$，依据假设存在$\delta _{A},\,\delta _{B}>0$ 使得 $B(p,\,\delta _{A})\subseteq A$ 且 $B(p,\,\delta _{B})\subseteq B$，这样取 $\delta =\min\{\delta _{A},\,\delta _{B}\}$的话，就有$B(p,\,\delta )\subseteq A\cap B$，是故$A\cap B$也是$M$ 的开集。$\Box$ (3) 若$p\in \bigcup {\mathcal {F}}$，依照联集的性质，存在 $O\in {\mathcal {F}}$ 使得 $p\in O$ ；但根据假设， $O\in {\mathcal {F}}$ 都是 $M$ 的开集，换句话说，存在 $\delta >0$ 使$B(p,\,\delta )\subseteq O$ ，那因为 $O\subseteq \bigcup {\mathcal {F}}$，所以有 $B(p,\,\delta )\subseteq \bigcup {\mathcal {F}}$，是故 $\bigcup {\mathcal {F}}$ 也是 $M$ 的开集。$\Box$

事实上这些性质这就是拓扑空间定义的动机。

拓扑空间

开集是拓扑空间定义的基石；也就是从任意母集合 $X$ 出发，再选取 $X$ 的特定的子集族 $\tau$ ，规定 $\tau$ 中的集合就是开集，这样的子集族 $\tau$ 被叫做 $X$ 上的拓扑：

定义 — 
$X$ 为集合，若 $\tau \subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 满足

(1) $\varnothing ,\,X\in \tau$

(2) 若 $A,B\in \tau$ 则 $A\cap B\in \tau$。

(3) ${\mathcal {F}}\subseteq \tau$ ，则 $\bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}F\in \tau$ 。（也就是说，任意数量开集的联集也是开集）

则称 $\tau$ 为 $X$ 上的拓扑，并称 $(X,\,\tau )$ 为一拓扑空间。任何 $O\in \tau$ 被称为开集。

根据上一节赋距空间的性质，取 $\tau _{d}$ 为所有 $M$ 的开集所构成的子集族，则 $(M,\,\tau _{d})$ 也是一拓扑空间。

例子

• 度量空间$(X,d)$中，以点$x\in X$为中心，$\varepsilon$为半径的球体$B(x,\varepsilon )$为开集，任意的开集$A$包含以$x\in A$为中心，充分小的$\varepsilon$为半径的球体$B(x,\varepsilon )$。
• 流形中的开集为子流形。

用处

开集在拓扑学分支中有著基础的重要性。当定义拓扑空间和其他拓扑结构（处理邻近性与收敛此类概念，比如度量空间和一致空间）时，都会用到开集的概念。

拓扑空间$X$的每个子集$A$都包含至少一个（可能为空）开集；最大的这种开集被叫做$A$的内部。它可以通过取包含在$A$中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间$X$和$Y$以及函数$f:X\rightarrow Y$，如果在$Y$中的所有开集的前像是在$X$中的开集，则$f$是连续的，这是实函数上的连续定义的推广，$X=Y=\mathbb {R}$时这与实函数的连续定义等价。如果在$X$中的所有开集的像是$Y$中的开集，映射$f$被叫做开映射。

实直线上的开集都是可数个不相交开区间的并集。

相关条目

• 拓扑空间
• 度量空间
• 闭集
• 闭开集