数学上,特别是拓朴学中,开集是对实数开区间进行推广之后得到的抽象集合

通常微积分的课程中,会借助欧式空间距离去描述数列极限;直观上,当 越来越大时数列 要多靠近有多靠近的时候,就说 是数列 的极限,但这需要距离去严谨的描述“靠近程度”,开集就是来自于" 点附近"这样的直观概念。类似的,函数极限也需要距离的概念去严谨定义。

满足的点着蓝色。满足的点着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。

定义

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直观上,于“开集”或说“不含边界的集合”中任取一点,都可以找到一个以此点为圆心,且半径足够小到落在“开集”里的圆盘(但圆盘的边界可能不在开集内)。开集的严谨定义由此而来。

欧式空间

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所谓的 维欧式空间,指的是囊括所有实数n-元组 的集合(记为 )。 为了定义开集,可以推广勾股定理,将   中任两点  欧式距离定义为:

 

然后定义所谓的( 维)开球(open ball):

 

也就是直观上,一个以 为球心, 为半径但不包含表面的球体

这样就可以作如下的定义:

定义 — 
  ,且对所有   ,存在一个   ,使 ,那么就说子集  中的一个开集

也就是直观上,取开集   的任意点   都有一个以   为球心的开球完全包含于  

赋距空间

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只要把上节的欧式距离改成一般的度量,开集的概念很容易推广到赋距空间 中。

以下把  中的开球(open ball)定义成:

 

这样就可以作如下的定义:

定义 — 
   的子集,且对所有  ,存在   使  ,则称    的一个开集

这的确推广了欧式空间部分的定义,因为欧式距离   本身就组成了一个赋距空间 

赋距空间的开集还会有以下的性质:

定理 — 
  为赋距空间,则

(1)    也是   的开集。

(2) 若    都是   的开集,则   也是   的开集。

(3)     的一个子集族),若所有   都是   的开集,则   也是   的开集。(也就是直观上,任意数量开集的联集也是开集)

证明
(1) 对每个 都有 ,所以 是自己的一个开集;另外对所有 都有 (直观上来说没有点可以当开球的球心),所以逻辑上不用验证是否有开球包含于 ,就可以得到 满足开集的定义 (直观上来说,前提为假的话,不论结论是否为真,“前提=>结论”都是对的)。 


(2) 若 ,依据假设存在  使得   ,这样取  的话,就有 ,是故 也是  的开集。 


(3) 若 ,依照联集的性质,存在   使得   ;但根据假设,   都是   的开集,换句话说,存在   使  ,那因为  ,所以有  ,是故   也是   的开集。 

事实上这些性质这就是拓扑空间定义的动机。

拓扑空间

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开集是拓扑空间定义的基石;也就是从任意母集合   出发,再选取   的特定的子集族   ,规定   中的集合就是开集,这样的子集族   被叫做   上的拓扑

定义 — 
  为集合,若   满足

(1)  

(2) 若   

(3)   ,则   。(也就是说,任意数量开集的联集也是开集)

则称    上的拓扑,并称   为一拓扑空间。任何   被称为开集

根据上一节赋距空间的性质,取   为所有   的开集所构成的子集族,则   也是一拓扑空间。

例子

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  • 度量空间 中,以点 为中心, 为半径的球体 为开集,任意的开集 包含以 为中心,充分小的 为半径的球体 
  • 流形中的开集为子流形

用处

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开集在拓扑学分支中有著基础的重要性。当定义拓扑空间和其他拓扑结构(处理邻近性收敛此类概念,比如度量空间一致空间)时,都会用到开集的概念。

拓扑空间 的每个子集 都包含至少一个(可能为空)开集;最大的这种开集被叫做 内部。它可以通过取包含在 中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间  以及函数 ,如果在 中的所有开集的前像是在 中的开集,则 连续的,这是实函数上的连续定义的推广, 时这与实函数的连续定义等价。如果在 中的所有开集的 中的开集,映射 被叫做开映射

实直线上的开集都是可数个不相交开区间的并集。

相关条目

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注释

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