數學上,特別是拓樸學中,開集是對實數開區間進行推廣之後得到的抽象集合

通常微積分的課程中,會藉助歐式空間距離去描述數列極限;直觀上,當 越來越大時數列 要多靠近有多靠近的時候,就說 是數列 的極限,但這需要距離去嚴謹的描述「靠近程度」,開集就是來自於" 點附近"這樣的直觀概念。類似的,函數極限也需要距離的概念去嚴謹定義。

滿足的點着藍色。滿足的點着紅色。紅色的點形成了開集。紅色和藍色的點的併集是閉集。

定義

編輯

直觀上,於「開集」或說「不含邊界的集合」中任取一點,都可以找到一個以此點為圓心,且半徑足夠小到落在「開集」裡的圓盤(但圓盤的邊界可能不在開集內)。開集的嚴謹定義由此而來。

歐式空間

編輯

所謂的 維歐式空間,指的是囊括所有實數n-元組 的集合(記為 )。 為了定義開集,可以推廣勾股定理,將   中任兩點  歐式距離定義為:

 

然後定義所謂的( 維)開球(open ball):

 

也就是直觀上,一個以 為球心, 為半徑但不包含表面的球體

這樣就可以作如下的定義:

定義 — 
  ,且對所有   ,存在一個   ,使 ,那麼就說子集  中的一個開集

也就是直觀上,取開集   的任意點   都有一個以   為球心的開球完全包含於  

賦距空間

編輯

只要把上節的歐式距離改成一般的度量,開集的概念很容易推廣到賦距空間 中。

以下把  中的開球(open ball)定義成:

 

這樣就可以作如下的定義:

定義 — 
   的子集,且對所有  ,存在   使  ,則稱    的一個開集

這的確推廣了歐式空間部分的定義,因為歐式距離   本身就組成了一個賦距空間 

賦距空間的開集還會有以下的性質:

定理 — 
  為賦距空間,則

(1)    也是   的開集。

(2) 若    都是   的開集,則   也是   的開集。

(3)     的一個子集族),若所有   都是   的開集,則   也是   的開集。(也就是直觀上,任意數量開集的聯集也是開集)

證明
(1) 對每個 都有 ,所以 是自己的一個開集;另外對所有 都有 (直觀上來說沒有點可以當開球的球心),所以邏輯上不用驗證是否有開球包含於 ,就可以得到 滿足開集的定義 (直觀上來說,前提為假的話,不論結論是否為真,「前提=>結論」都是對的)。 


(2) 若 ,依據假設存在  使得   ,這樣取  的話,就有 ,是故 也是  的開集。 


(3) 若 ,依照聯集的性質,存在   使得   ;但根據假設,   都是   的開集,換句話說,存在   使  ,那因為  ,所以有  ,是故   也是   的開集。 

事實上這些性質這就是拓撲空間定義的動機。

拓撲空間

編輯

開集是拓撲空間定義的基石;也就是從任意母集合   出發,再選取   的特定的子集族   ,規定   中的集合就是開集,這樣的子集族   被叫做   上的拓撲

定義 — 
  為集合,若   滿足

(1)  

(2) 若   

(3)   ,則   。(也就是說,任意數量開集的聯集也是開集)

則稱    上的拓撲,並稱   為一拓撲空間。任何   被稱為開集

根據上一節賦距空間的性質,取   為所有   的開集所構成的子集族,則   也是一拓撲空間。

例子

編輯
  • 度量空間 中,以點 為中心, 為半徑的球體 為開集,任意的開集 包含以 為中心,充分小的 為半徑的球體 
  • 流形中的開集為子流形

用處

編輯

開集在拓撲學分支中有著基礎的重要性。當定義拓撲空間和其他拓撲結構(處理鄰近性收斂此類概念,比如度量空間一致空間)時,都會用到開集的概念。

拓撲空間 的每個子集 都包含至少一個(可能為空)開集;最大的這種開集被叫做 內部。它可以通過取包含在 中的所有開集的併集來構造。

給定拓撲空間  以及函數 ,如果在 中的所有開集的前像是在 中的開集,則 連續的,這是實函數上的連續定義的推廣, 時這與實函數的連續定義等價。如果在 中的所有開集的 中的開集,映射 被叫做開映射

實直線上的開集都是可數個不相交開區間的併集。

相關條目

編輯

注釋

編輯