拿破仑问题
拿破仑问题(Napoleon's problem)是著名的圆规作图问题,原题如下:
给定一圆和其圆心,只用圆规将此圆四等分。(此圆指的是圆周而不是圆面积)
此题目是由义大利数学家洛伦佐·马斯凯罗尼向拿破仑·波拿巴提出的问题,但我们不知道他是否有解出这个问题。此题目后来又更加进化,变成只给定一圆,只用圆规将此圆四等分,在这种情况必须先用圆规作图找到圆心。以上两种都被称为拿破仑问题。
找出圆心
编辑作法
编辑- 在已知的圆 上找任意一点 A,以任意半径画弧 (必须和圆 有交点,长度最好差不多有半圆那么长,方便第三步作图),交圆 于 B'、B 两点。
- 分别以B'、B为圆心, 、 为半径,画两条弧 ,两弧线相交于 A 点和 C 点。
- 再以 C 点为圆心、 为半径,画弧 ,交弧 于 D'、D两点。
- 以D'、D为圆心, 、 为半径,画两条弧 ,两弧线相交于A点和O点。(O点即圆 的圆心)
证明
编辑设圆 的半径为 ,圆 的半径为 ,我们知道:
因为 ,所以
由于 ,可以得出
根据对称性, 通过圆心,又 ,所以 是圆 的圆心。
四等分圆
编辑作法
编辑由前面我们已经知道圆心的位置
- 在已知的圆上找任意一点 ,以 为半径画弧 ,交圆于 、 两点。
- 以 为圆心, 为半径画弧 ,交圆于 点(和 点)。
- (继续分别以 、 为圆心, 、 为半径画弧,即可将圆六等分,) 、 、 、 为四个六等分点(如图)。
- 以 为圆心, 为半径画弧 ;以 为圆心, 为半径画弧 ,两弧交于 点。
- 以 为圆心,取 的长度 为半径画弧 ,交圆于 、 两点。
- 、 、 、 四点将圆四等分。
证明
编辑设圆的半径为 ,容易得出 、 、 、 、 、 、 的长度都是 ,可以得出 ,根据毕氏定理可以得出 ,因此 、 、 、 四点将圆四等分。
参见
编辑注解
编辑参考资料
编辑- Napoleon's Problem (页面存档备份,存于互联网档案馆)MathWorld
- 拿破仑分圆