方根

乘方的逆运算

数学中,一数次方根,则。在提及实数次方根的时候,若指的是此数的次方根,则可以用根号)表示成。例如:1024的主10次方根为2,就可以记作。当时,则可以省略。定义实数的主次方根为次方根,且具有与相同的正负号的唯一实数。在偶数时,负数没有主次方根。习惯上,将2次方根叫做平方根,将3次方根叫做立方根

方根也是的分数指数,即数次方:

符号史

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最早的根号“√”源于字母“r”的变形(出自拉丁语latus的首字母,表示“边长”),没有线括号(即被开方数上的横线),后来数学家笛卡尔给其加上线括号,但与前面的方根符号是分开的,因此在复杂的式子显得很乱。直至18世纪中叶,数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成,并将根指数写在根号的左上角,以表示高次方根(当根指数为2时,省略不写。)。形成了现在所熟悉的开方运算符号 

考虑在计算机中的输入问题,有时也可以使用sqrt(a,b)来表示a的b次方根。

基本运算

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带有根号的运算可由如下公式推导而得:

 
 
 

这里的ab正数

对于所有的非零复数 ,有 个不同的复数 使得 ,所以符号 就会出现歧义(通常这样写是取 个值当中主幅角最小的)。 单位根是特别重要的。

当一个数从根号形式变换到形式,幂的规则仍适用(即使对分数幂),也就是

 
 
 

例如:

 

若要做加法减法,需考虑下列的概念。

 

若已可以简化根式表示式,则加法和减法就只是的“同类项”问题。

例如

 
 
 
 


不尽根数

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未经化简的根数,一般叫做“不尽根数”(surd),可以处理为更简单的形式。

如下恒等式是处理不尽根数的基本技巧:

  •  
  •  
  •  
  •  

无穷级数

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方根可以表示为无穷级数:

 

找到所有的方根

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任何数的所有的根,实数或复数的,可以通过简单的算法找到。这个数应当首先被写为如下形式 (参见欧拉公式)。接着所有的n次方根给出为:

 

对于 ,这里的 表示 的主 次方根。

正实数

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所有   次方根,这里的 是正实数,的复数解由如下简单等式给出:

 

对于 ,这里的 表示 的主 次方根。

解多项式

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曾经有数学猜想,认为多项式的所有根可以用根号和四则运算来表达;但是阿贝尔-鲁菲尼定理断言了这不是普遍为真的。例如,方程

 

的解不能用根号表达。

要解任何n次方程,参见求根算法

算法

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对于正数 ,可以通过以下算法求得 的值:

  1. 猜一个 的近似值,将其作为初始值 
  2.  。记误差为 ,即 
  3. 重复步骤2,直至绝对误差足够小,即: 

从牛顿法导出

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 之值,亦即求方程 的根。

 ,其导函数 

牛顿法作迭代,便得

 
 
 
 

从牛顿二项式定理导出

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 为迭代值, 为误差值。

 (*),作牛顿二项式展开,取首两项: 

调项得 

将以上结果代回(*),得递归公式 

参见

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外部链接

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