泰勒斯定理(英语:Thales' theorem)以古希腊思想家、科学家、哲学家泰勒斯的名字命名,其内容为:若A, B, C是圆周上的三点,且AC是该圆的直径,那么∠ABC必然为直角。或者说,直径所对的圆周角是直角。该定理在欧几里得《几何原本》第三卷中被提到并证明[1]。
泰勒斯定理:如果AC是直径,那么∠ABC是直角。
泰勒斯定理的逆定理同样成立,即:直角三角形中,直角的顶点在以斜边为直径的圆上。
以下证明主要使用两个定理:
设O为圆心,因为OA = OB = OC,所以△OAB和△OBC都是等腰三角形。因为等腰三角形底角相等,故有∠OBC = ∠OCB,且∠BAO = ∠ABO。设α = ∠BAO,β = ∠OBC。在△ABC中,因为三角形的内角和等于180°,所以有
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泰勒斯定理也可以用三角学方法证明,证明如下:
令O =(0, 0), A =(-1, 0), C =(1, 0)。此时,B就是单位圆 上的一点。我们将通过证明AB与BC 垂直,即它们的斜率之积等于–1,来证明这个定理。计算AB和BC的斜率:
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并证明它们的积等于–1:
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注意以上证明过程中运用了毕达哥拉斯三角恒等式 。
此证明使用两线的向量形成直角三角形,若且唯若其内积为零。设有直角三角形ABC,和以AC为直径的圆O。设O在原点,以方便计算。则AB和BC的内积为:
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故A和B与圆心等距,即B在圆上。
泰勒斯定理是“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”的一个特殊情况。
以下是泰勒斯定理的一个相关定理:
- 如果AC是一个圆的直径,则:
- 若B在圆内,则∠ABC > 90°
- 若B在圆上,则∠ABC = 90°
- 若B在圆外,则∠ABC < 90°