泰勒斯定理(英語:Thales' theorem)以古希臘思想家、科學家、哲學家泰勒斯的名字命名,其內容為:若A, B, C是圓周上的三點,且AC是該圓的直徑,那麼∠ABC必然為直角。或者說,直徑所對的圓周角是直角。該定理在歐幾里得《幾何原本》第三卷中被提到並證明[1]。
泰勒斯定理:如果AC是直徑,那麼∠ABC是直角。
泰勒斯定理的逆定理同樣成立,即:直角三角形中,直角的頂點在以斜邊為直徑的圓上。
以下證明主要使用兩個定理:
設O為圓心,因為OA = OB = OC,所以△OAB和△OBC都是等腰三角形。因為等腰三角形底角相等,故有∠OBC = ∠OCB,且∠BAO = ∠ABO。設α = ∠BAO,β = ∠OBC。在△ABC中,因為三角形的內角和等於180°,所以有
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泰勒斯定理也可以用三角學方法證明,證明如下:
令O =(0, 0), A =(-1, 0), C =(1, 0)。此時,B就是單位圓 上的一點。我們將通過證明AB與BC 垂直,即它們的斜率之積等於–1,來證明這個定理。計算AB和BC的斜率:
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並證明它們的積等於–1:
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注意以上證明過程中運用了畢達哥拉斯三角恆等式 。
此證明使用兩線的向量形成直角三角形,若且唯若其內積為零。設有直角三角形ABC,和以AC為直徑的圓O。設O在原點,以方便計算。則AB和BC的內積為:
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故A和B與圓心等距,即B在圓上。
泰勒斯定理是「同弧所對的圓周角是圓心角的一半」的一個特殊情況。
以下是泰勒斯定理的一個相關定理:
- 如果AC是一個圓的直徑,則:
- 若B在圓內,則∠ABC > 90°
- 若B在圓上,則∠ABC = 90°
- 若B在圓外,則∠ABC < 90°