海伦公式(英语:Heron's formula或Hero's formula),又译希罗公式[1]。由古希腊数学家亚历山大港的希罗发现,并在其于公元60年所著的《Metrica》中载有数学证明,原理是利用三角形的三条边长求取三角形面积。亦有认为更早的阿基米德已经了解这条公式,因为《Metrica》是一部古代数学知识的结集,该公式的发现时间很有可能先于希罗的著作。[2]
假设有一个三角形,边长分别为 a , b , c {\displaystyle a,b,c} ,三角形的面积 A {\displaystyle A} 可由以下公式求得:
中国南宋末年数学家秦九韶发现或知道等价的公式,其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,里法三百步,欲知为田几何?”答曰:“三百十五顷.”其术文是:“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,馀半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,馀四约之,为实,一为从隅,开平方,得积。”若以大斜记为 a {\displaystyle a} ,中斜记为 b {\displaystyle b} ,小斜记为 c {\displaystyle c} ,秦九韶的方法相当于下面的一般公式:
像其他中国古代的数学家一样,他的方法没有证明。根据现代数学家吴文俊的研究,秦九韶公式可由出入相补原理得出。
由于任何 n {\displaystyle n} 边的多边形都可以分割成 n − 2 {\displaystyle n-2} 个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。
与希罗在他的著作《Metrica》中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 的对角分别为 A , B , C {\displaystyle A,B,C} ,则余弦定理为
利用和平方、差平方、平方差等公式,从而有
设 △ A B C {\displaystyle \bigtriangleup ABC} 中, A B ¯ = c , B C ¯ = a , C A ¯ = b {\displaystyle {\overline {AB}}=c,{\overline {BC}}=a,{\overline {CA}}=b} 。
I {\displaystyle I} 为内心, I a , I b , I c {\displaystyle I_{a},I_{b},I_{c}} 为三旁切圆。
∵ ∠ I a B I = ∠ I a C I = 90 o {\displaystyle \because \angle I_{a}BI=\angle I_{a}CI=90^{\mathsf {o}}}
∴ I a C I B {\displaystyle \therefore I_{a}CIB} 四点共圆,并设此圆为圆 O {\displaystyle O} 。