海龍公式(英語:Heron's formula或Hero's formula),又譯希羅公式[1]。由古希臘數學家亞歷山大港的希羅發現,並在其於公元60年所著的《Metrica》中載有數學證明,原理是利用三角形的三條邊長求取三角形面積。亦有認為更早的阿基米德已經了解這條公式,因為《Metrica》是一部古代數學知識的結集,該公式的發現時間很有可能先於希羅的著作。[2]
假設有一個三角形,邊長分別為 a , b , c {\displaystyle a,b,c} ,三角形的面積 A {\displaystyle A} 可由以下公式求得:
中國南宋末年數學家秦九韶發現或知道等價的公式,其著作《數書九章》卷五第二題即三斜求積。「問沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,里法三百步,欲知為田幾何?」答曰:「三百十五頃.」其術文是:「以小斜冪併大斜冪,減中斜冪,餘半之,自乘於上;以小斜冪乘大斜冪,減上,餘四約之,爲實,一為從隅,開平方,得積。」若以大斜記為 a {\displaystyle a} ,中斜記為 b {\displaystyle b} ,小斜記為 c {\displaystyle c} ,秦九韶的方法相當於下面的一般公式:
像其他中國古代的數學家一樣,他的方法沒有證明。根據現代數學家吳文俊的研究,秦九韶公式可由出入相補原理得出。
由於任何 n {\displaystyle n} 邊的多邊形都可以分割成 n − 2 {\displaystyle n-2} 個三角形,所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時候,不用測三角形的高,只需測兩點間的距離,就可以方便地導出答案。
與希羅在他的著作《Metrica》中的原始證明不同,在此我們用三角公式和公式變形來證明。設三角形的三邊 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 的對角分別為 A , B , C {\displaystyle A,B,C} ,則餘弦定理為
利用和平方、差平方、平方差等公式,從而有
設 △ A B C {\displaystyle \bigtriangleup ABC} 中, A B ¯ = c , B C ¯ = a , C A ¯ = b {\displaystyle {\overline {AB}}=c,{\overline {BC}}=a,{\overline {CA}}=b} 。
I {\displaystyle I} 為內心, I a , I b , I c {\displaystyle I_{a},I_{b},I_{c}} 為三旁切圓。
∵ ∠ I a B I = ∠ I a C I = 90 o {\displaystyle \because \angle I_{a}BI=\angle I_{a}CI=90^{\mathsf {o}}}
∴ I a C I B {\displaystyle \therefore I_{a}CIB} 四點共圓,並設此圓為圓 O {\displaystyle O} 。