磁矩 是磁铁的一种物理性质。处于外磁场 的磁铁 ，会感受到力矩 ，促使其磁矩沿外磁场的磁场线 方向排列。磁矩可以用向量 表示。磁铁的磁矩方向是从磁铁的指南极 指向指北极 ，磁矩的大小取决于磁铁的磁性与量值。不只是磁铁具有磁矩，载流回路 、电子 、分子 或行星 等等，都具有磁矩。
科学家至今尚未发现宇宙中存在有磁单极子 。一般磁性物质 的磁场，其泰勒展开 的多极展开式 ，由于磁单极子 项目恒等于零，第一个项目是磁偶极子 项、第二个项目是磁四极子 （quadrupole ）项，以此类推。磁矩也分为磁偶极矩、磁四极矩等等部分。从磁矩的磁偶极矩、磁四极矩等等，可以分别计算出磁场的磁偶极子项目、磁四极子项目等等。随著距离的增远，磁偶极矩部分会变得越加重要，成为主要项目，因此，磁矩这术语时常用来指称磁偶极矩。有些教科书内，磁矩的定义与磁偶极矩的定义相同[ 1]
一个载流回圈的磁偶极矩是其所载电流 乘以回路面积：
μ
=
I
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}
其中，
μ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!}
I
{\displaystyle I\,\!}
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
右手定则 决定。
处于外磁场的载流回圈，其感受到的力矩和其势能 与磁偶极矩的关系为：
τ
=
μ
×
B
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {B} \,\!}
U
=
−
μ
⋅
B
{\displaystyle U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}
其中，
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}
B
{\displaystyle \mathbf {B} \,\!}
U
{\displaystyle U\,\!}
许多基本粒子 ，例如电子 ，都具有内禀磁矩 。这种内禀磁矩是许多巨观磁场力的来源，许多物理现象也和此有关。这种磁矩和古典物理的磁矩不同，而是和粒子的自旋 有关，必须用量子力学 来解释。这些内禀磁矩是量子化 的，最小的基本单位，常常称为“磁子 ”（magneton ）。例如，电子自旋 的磁矩与波耳磁子 的关系式为：
μ
s
=
−
g
s
μ
B
S
/
ℏ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{s}=-g_{s}\mu _{B}\mathbf {S} /\hbar \,\!}
其中，
μ
s
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{s}\,\!}
电子自旋g因子
g
s
{\displaystyle g_{s}\,\!}
μ
B
{\displaystyle \mu _{B}\,\!}
波耳磁子 ，
S
{\displaystyle \mathbf {S} \,\!}
自旋 ，
ℏ
{\displaystyle \hbar \,\!}
约化普朗克常数 。
采用国际单位制 ，磁偶极矩的因次 是面积 ×电流 。磁偶极矩的单位有两种等价的表示法：
1 安培 ·公尺2 = 1 焦耳 ／特斯拉 。 CGS单位制 又可细分为几种亚单位制：静电单位制 （electrostatic units ），电磁单位制 （electromagnetic units ）、高斯单位制 。
磁偶极矩单位转换表[ 2] 光速 c = 29,979,245,800 ≈ 3·1010
语言
国际单位制
静电单位制
电磁单位制
高斯单位制
中文
1 安培 ·公尺2 = 1 焦耳 ／特斯拉
= (103 c ) 静安培 ·公分2
= (103 ) 绝对安培 ·公分2
= (103 ) 尔格 ／高斯
英文
1 A ·m 2 =1 J /T
= (103 c ) statA·cm2
= (103 ) abA·cm2
= (103 ) erg ／Gauss
磁偶极矩在电磁单位制与在静电单位制的比例正好等于单位为公分／秒的光速 。
在这篇文章内，所有的方程式都采用国际单位制。
在任何物理系统里，磁矩最基本的源头有两种：
电荷 的运动，像电流，会产生磁矩。只要知道物理系统内全部的电流密度分布（或者所有的电荷的位置和速度），理论上就可以计算出磁矩。像电子、质子 一类的基本粒子会因自旋而产生磁矩。每一种基本粒子的内禀磁矩的大小都是常数，可以用理论推导出来，得到的结果也已经通过做实验核对至高准确度。例如，电子磁矩的测量值是−9.284764×10−24 焦耳／特斯拉[ 3] 整个物理系统的净磁矩是所有磁矩的向量和。例如，氢原子 的磁场是以下几种磁矩的向量和：
电子的自旋。
电子环绕著质子的轨域运动。
质子的自旋。 再举个例子，构成条形磁铁的物质，其未配对电子的内禀磁矩和轨域磁矩的向量和，是条形磁铁的磁矩。
假设一个平面载流回圈的面积向量为
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
I
{\displaystyle I\,\!}
μ
=
I
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}
对于最简单的案例，平面载流回圈的磁偶极矩
μ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!}
μ
=
I
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}
其中，
I
{\displaystyle I\,\!}
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
面积向量和磁偶极矩的方向是由右手定则 给出：令四只手指朝著电流方向弯曲，伸直大拇指，则大拇指所指的方向即是面积向量的方向，也是磁偶极矩的方向。
这有限面积的载流回圈还有更高阶的磁矩，像磁四极矩，磁八极矩等等。假设载流回圈的面积趋向于零、电流趋向于无穷大，同时保持
μ
=
I
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}
对于任意回路案例，假设回路载有恒定电流
I
{\displaystyle I\,\!}
μ
=
I
∫
S
d
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\int _{\mathbb {S} }\mathrm {d} \mathbf {a} \,\!}
其中，
S
{\displaystyle \mathbb {S} \,\!}
C
{\displaystyle \mathbb {C} \,\!}
S
{\displaystyle \mathbb {S} \,\!}
d
a
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} \,\!}
d
ℓ
{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
d
ℓ
{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}
引用向量恒等式
∫
S
d
a
=
1
2
∮
C
r
×
d
ℓ
{\displaystyle \int _{\mathbb {S} }\mathrm {d} \mathbf {a} ={\frac {1}{2}}\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {r} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}
即可得到磁偶极矩的路径积分方程式
μ
=
I
2
∮
C
r
×
d
ℓ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {I}{2}}\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {r} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}
对于最广义的任意电流分布案例，磁偶极矩为
μ
=
1
2
∫
V
r
×
J
d
V
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \mathbf {J} \ \mathrm {d} V\,\!}
其中，
V
{\displaystyle \mathbb {V} \,\!}
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
J
{\displaystyle \mathbf {J} \,\!}
电流密度 ，
d
V
{\displaystyle \mathrm {d} V\,\!}
任意一群移动电荷，像旋转的带电固体，都可以用这方程式计算出其磁偶极矩。
在原子物理学 和核子物理 学里，磁矩的大小标记为
μ
{\displaystyle \mu \,\!}
波耳磁子 或核磁子 （nuclear magneton ）。磁矩关系到粒子的自旋，和／或粒子在系统内的轨域运动。以下列表展示出一些粒子的内禀磁矩：
一些基本粒子的内禀磁矩和自旋[ 4]
粒子
内禀磁矩（10−27 焦耳 ／特斯拉 ）
自旋量子数
电子 -9284.764
1/2
质子 +14.106067
1/2
中子 -9.66236
1/2
缈子 -44.904478
1/2
重氢 +4.3307346
1
氢-3 +15.046094
1/2
欲知道更多有关于磁矩与磁化强度之间的物理关系，请参阅条目磁化强度 。
磁偶极子的磁场线 。从侧面望去，磁偶极子竖立于绘图的中央。 载流回路会在周围产生磁场。这磁场包括偶极磁场与更高次的多极项目。但是，随著距离的增远，这些多极项目会更快速地减小，因此，在远距离位置，只有偶极项目是磁场的显要项目。
思考一个载有恒定电流
I
{\displaystyle I\,\!}
C
{\displaystyle \mathbb {C} \,\!}
磁矢势
A
{\displaystyle \mathbf {A} \,\!}
A
(
r
)
=
μ
0
I
4
π
∮
C
′
d
ℓ
′
|
r
−
r
′
|
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} '}\ {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\!}
其中，
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}
d
ℓ
′
{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'\,\!}
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}\,\!}
磁常数 。
假设检验位置足够远，
r
>
r
′
{\displaystyle r>r'\,\!}
1
|
r
−
r
′
|
{\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\!}
泰勒展开 为
1
|
r
−
r
′
|
=
1
r
∑
n
=
0
∞
(
r
′
r
)
n
P
n
(
cos
θ
′
)
{\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}={\frac {1}{r}}\sum _{n=0}^{\infty }\ \left({\frac {r'}{r}}\right)^{n}P_{n}(\cos \theta ')\,\!}
其中，
P
n
(
cos
θ
′
)
{\displaystyle P_{n}(\cos \theta ')\,\!}
勒让德多项式 ，
θ
′
{\displaystyle \theta '\,\!}
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}
夹角 。
所以，磁矢势展开为
A
(
r
)
=
μ
0
I
4
π
∑
n
=
0
∞
1
r
n
+
1
∮
C
′
(
r
′
)
n
P
n
(
cos
θ
′
)
d
ℓ
′
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }\ {\frac {1}{r^{n+1}}}\oint _{\mathbb {C} '}\ (r')^{n}P_{n}(\cos \theta ')\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'\,\!}
思考
n
=
0
{\displaystyle n=0\,\!}
A
0
(
r
)
=
μ
0
I
4
π
r
∮
C
′
d
ℓ
′
=
0
{\displaystyle \mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r}}\oint _{\mathbb {C} '}\ \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'=0\,\!}
由于闭合回路的向量线积分等于零，磁单极子项目恒等于零。
再思考
n
=
1
{\displaystyle n=1\,\!}
A
1
(
r
)
=
μ
0
I
4
π
r
2
∮
C
′
r
′
cos
θ
′
d
ℓ
′
=
μ
0
I
4
π
r
2
(
−
r
^
×
∮
S
′
d
a
′
)
{\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r^{2}}}\ \oint _{\mathbb {C} '}\ r'\cos \theta '\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r^{2}}}\ (-{\hat {\mathbf {r} }}\times \oint _{\mathbb {S} '}\mathrm {d} \mathbf {a} ')\,\!}
注意到磁偶极矩为
μ
=
I
∮
S
′
d
a
′
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\oint _{\mathbb {S} '}\mathrm {d} \mathbf {a} '\,\!}
A
1
(
r
)
=
μ
0
4
π
μ
×
r
^
r
2
{\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\ {\frac {{\boldsymbol {\mu }}\times {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}\,\!}
偶极磁场
B
1
{\displaystyle \mathbf {B} _{1}\,\!}
B
1
(
r
)
=
∇
×
A
1
(
r
)
{\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )\,\!}
由于磁偶极子的向量势有一个奇点 在它所处的位置（原点
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
B
1
(
r
)
=
μ
0
4
π
r
3
[
3
(
μ
⋅
r
^
)
r
^
−
μ
]
+
2
μ
0
3
μ
δ
3
(
r
)
{\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left[3({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-{\boldsymbol {\mu }}\right]+{\frac {2\mu _{0}}{3}}{\boldsymbol {\mu }}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\,\!}
其中，
δ
3
(
r
)
{\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} )\,\!}
狄拉克δ函数 。
偶极磁场的狄拉克δ函数项目造成了原子能级 分裂，因而形成了超精细结构 （hyperfine structure ）[ 5] 天文学 里，氢原子 的超精细结构给出了21公分谱线 ，在电磁辐射 的无线电波 范围，是除了3K背景辐射 以外，宇宙弥漫最广阔的电磁辐射。从复合纪元 （recombination ）至再电离纪元 （reionization ）之间的天文学研究，只能依靠观测21公分谱线无线电波。
给予几个磁偶极矩，则按照叠加原理 ，其总磁场是每一个磁偶极矩的磁场的总向量和。
处于均匀磁场的一个方形载流回圈。 如图右，假设载有电流
I
{\displaystyle I\,\!}
B
=
B
0
z
^
{\displaystyle \mathbf {B} =B_{0}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
w
{\displaystyle w\,\!}
y
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\,\!}
−
θ
+
π
/
2
{\displaystyle -\theta +\pi /2\,\!}
垂直于外磁场的两个边所感受的磁力矩为
τ
=
(
I
w
B
0
w
sin
θ
2
+
I
w
B
0
w
sin
θ
2
)
y
^
=
I
w
2
B
0
sin
θ
y
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(IwB_{0}{\frac {w\sin {\theta }}{2}}+IwB_{0}{\frac {w\sin {\theta }}{2}}\right){\hat {\mathbf {y} }}=Iw^{2}B_{0}\sin {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\,\!}
另外两个边所感受的磁力矩互相抵消。注意到这回圈的磁偶极矩为
μ
=
I
w
2
μ
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=Iw^{2}{\hat {\boldsymbol {\mu }}}\,\!}
τ
=
μ
×
B
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {B} \,\!}
令载流回圈的面积趋向于零、电流趋向于无穷大，同时保持
μ
=
I
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}
当磁偶极矩垂直于磁场时，磁力矩的大小是最大值
μ
B
0
{\displaystyle \mu B_{0}\,\!}
将载流回圈从角弧
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}\,\!}
θ
2
{\displaystyle \theta _{2}\,\!}
机械功
W
{\displaystyle W\,\!}
W
=
−
∫
θ
1
θ
2
τ
d
θ
=
−
∫
θ
1
θ
2
μ
B
0
sin
θ
d
θ
=
μ
B
0
(
cos
θ
2
−
cos
θ
1
)
{\displaystyle W=-\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ d\theta =-\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\mu B_{0}\sin {\theta }\ d\theta =\mu B_{0}(\cos {\theta _{2}}-\cos {\theta _{1}})\,\!}
注意到磁力矩的扭转方向是反时针方向 ，而
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
顺时针方向 递增，所以必须添加一个负号。设定
θ
1
=
π
/
2
{\displaystyle \theta _{1}=\pi /2\,\!}
W
=
μ
B
0
cos
θ
2
=
μ
⋅
B
{\displaystyle W=\mu B_{0}\cos {\theta _{2}}={\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}
对抗这磁场的磁力矩，将载流回圈从角弧
π
/
2
{\displaystyle \pi /2\,\!}
θ
2
{\displaystyle \theta _{2}\,\!}
机械功
W
a
{\displaystyle W_{a}\,\!}
W
a
=
−
W
=
−
μ
⋅
B
{\displaystyle W_{a}=-W=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}
定义载流回圈的势能
U
{\displaystyle U\,\!}
机械功
W
a
{\displaystyle W_{a}\,\!}
U
=
−
μ
⋅
B
{\displaystyle U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}
与前段所述同理，磁偶极子的势能也可以用这方程式表示。当磁偶极矩垂直于磁场时，势能等于零；当磁偶极矩与磁场呈相同方向时，势能是最小值
−
μ
B
0
{\displaystyle -\mu B_{0}\,\!}
μ
B
0
{\displaystyle \mu B_{0}\,\!}
假设外磁场为均匀磁场，则作用于载流回路
C
′
{\displaystyle \mathbb {C} '\,\!}
F
=
I
∮
C
′
d
ℓ
′
×
B
=
0
{\displaystyle \mathbf {F} =I\oint _{\mathbb {C} '}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'\times \mathbf {B} =0\,\!}
假设外磁场为非均匀的，则会有一股磁场力，作用于磁偶极子。依照磁矩模型的不同，求得的磁场力也会不同[ 6]
F
ℓ
=
∇
(
μ
⋅
B
)
{\displaystyle \mathbf {F} _{\ell }=\nabla ({\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} )\,\!}
另外一种采用“磁荷模型”。这类似电偶极矩的模型，计算出的磁场力为
F
d
=
(
μ
⋅
∇
)
B
{\displaystyle \mathbf {F} _{d}=({\boldsymbol {\mu }}\cdot \nabla )\mathbf {B} \,\!}
两者之间的差别为
F
l
=
F
d
+
μ
×
(
∇
×
B
)
{\displaystyle \mathbf {F} _{l}=\mathbf {F} _{d}+{\boldsymbol {\mu }}\times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\,\!}
假设，电流等于零，电场不含时间，则根据马克士威-安培方程式 ，
∇
×
B
=
0
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =0\,\!}
两种模型计算出来的磁场力相等。可是，假设电流不等于零，或电场为含时电场，则两种模型计算出来的磁场力不相等。1951年，两个不同的实验，研究中子 的散射 于铁磁性 物质，分别得到的结果与电流模型预估的结果相符合[ 6]
一个载流回圈的磁偶极矩与其面积和所载电流有关。例如，载有1安培 电流，半径
r
′
{\displaystyle r'\,\!}
μ
=
π
r
′
2
I
=
π
×
0.05
2
×
1
≈
0.008
[
A
⋅
m
2
]
=
0.008
[
J
/
T
]
{\displaystyle \mu =\pi r'\,^{2}I=\pi \times 0.05^{2}\times 1\approx 0.008\;[\mathrm {A} \cdot \mathrm {m} ^{2}]=0.008\;[\mathrm {J/T} ]\,\!}
磁偶极矩垂直于载流回圈的平面。载流回圈的磁矩，可以用来建立以下几点论据：
假设场位置的距离
r
{\displaystyle r\,\!}
r
′
=
0.05
m
{\displaystyle r'=0.05\ \mathrm {m} \,\!}
沿著回圈的中心轴，磁矩与场位置
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
B
=
μ
0
4
π
r
3
2
μ
=
4
π
×
10
−
7
4
π
r
3
×
2
×
0.008
≈
1.6
×
10
−
9
r
3
[
T
⋅
m
3
]
{\displaystyle B={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}2\mu ={\frac {4\pi \times 10^{-7}}{4\pi r^{3}}}\times 2\times 0.008\approx {\frac {1.6\times 10^{-9}}{r^{3}}}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!}
在包含回圈的平面的任意位置，磁矩垂直于场位置：
B
=
−
μ
0
4
π
r
3
μ
=
−
4
π
×
10
−
7
4
π
r
3
×
0.008
≈
−
0.8
×
10
−
9
r
3
[
T
⋅
m
3
]
{\displaystyle B=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\mu =-\ {\frac {4\pi \times 10^{-7}}{4\pi r^{3}}}\times 0.008\approx -\ {\frac {0.8\times 10^{-9}}{r^{3}}}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!}
负号表示平面任意位置案例与中心轴案例，这两个案例的磁场呈相反方向。 假设在地球的某地方，地磁场
B
E
{\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}
高斯 （5×10−5 特斯拉 ），而且回圈磁矩垂直于地磁场
B
E
{\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}
τ
≈
0.008
×
5
×
10
−
5
=
4
×
10
−
7
[
N
⋅
m
]
{\displaystyle \tau \approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} ]\,\!}
应用力矩的观念，可以制造出罗盘 。假设这罗盘的磁针，由于力矩的作用，从磁针的磁矩垂直于地磁场
B
E
{\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}
B
E
{\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}
U
{\displaystyle U\,\!}
U
≈
0.008
×
5
×
10
−
5
=
4
×
10
−
7
[
J
]
{\displaystyle U\approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {J} ]\,\!}
由于罗盘悬浮系统的摩擦机制，这能量是以热量的形式耗散净尽。 螺线管三维电脑绘图。 一个多匝线圈（或螺线管 ）的磁矩是其每个单匝线圈的磁矩的向量和。对于全同匝（单层卷绕），只需将单匝线圈的磁矩乘以匝数，就可得到总磁矩。然后，这总磁矩可以用来计算磁场，力矩，和储存能量，方法与使用单匝线圈计算的方法相同。
假设螺线管的匝数为
N
{\displaystyle N\,\!}
a
{\displaystyle a\,\!}
I
{\displaystyle I\,\!}
μ
=
N
I
a
{\displaystyle \mu =NIa\,\!}
假设，一个点电荷
q
{\displaystyle q\,\!}
v
{\displaystyle v\,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
[ 7]
I
=
q
v
2
π
r
{\displaystyle I={\frac {qv}{2\pi r}}\,\!}
其磁矩为
μ
=
q
v
2
π
r
π
r
2
=
q
v
r
2
z
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {qv}{2\pi r}}\pi r^{2}={\frac {qvr}{2}}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
其角动量
J
{\displaystyle \mathbf {J} \,\!}
J
=
m
v
r
z
^
{\displaystyle \mathbf {J} =mvr{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
其中，
m
{\displaystyle m\,\!}
所以，磁矩与角动量的经典关系为
μ
=
q
2
m
J
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {q}{2m}}\mathbf {J} \,\!}
对于电子，这经典关系为
μ
=
−
e
2
m
e
J
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-\ {\frac {e}{2m_{e}}}\mathbf {J} \,\!}
其中，
m
e
{\displaystyle m_{e}\,\!}
e
{\displaystyle e\,\!}
假设，这点电荷是个束缚于氢原子 内部的电子。由于离心力 等于库仑吸引力 ，
1
4
π
ϵ
0
e
2
r
2
=
m
e
v
2
r
{\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}=m_{e}{\frac {v^{2}}{r}}\,\!}
其中，
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}
电常数 。
现在施加外磁场
B
=
B
z
^
{\displaystyle \mathbf {B} =B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
劳仑兹力 作用于电子。假设轨道半径不变（这只是一个粗略计算），只有电子的速度改变为
v
B
{\displaystyle v_{B}\,\!}
1
4
π
ϵ
0
e
2
r
2
+
e
v
B
B
=
m
e
v
B
2
r
{\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}+ev_{B}B=m_{e}{\frac {v_{B}^{2}}{r}}\,\!}
所以，
v
B
2
−
v
2
=
(
v
B
+
v
)
(
v
B
−
v
)
=
e
v
B
B
r
m
e
{\displaystyle v_{B}^{2}-v^{2}=(v_{B}+v)(v_{B}-v)={\frac {ev_{B}Br}{m_{e}}}\,\!}
假设，两个速度的差别
Δ
v
=
v
B
−
v
{\displaystyle \Delta v=v_{B}-v\,\!}
Δ
v
≈
e
B
r
2
m
e
{\displaystyle \Delta v\approx {\frac {eBr}{2m_{e}}}\,\!}
所以，由于施加外磁场
B
{\displaystyle \mathbf {B} \,\!}
Δ
μ
=
−
e
Δ
v
r
2
z
^
=
−
e
2
r
2
4
m
e
B
z
^
{\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}=-{\frac {e\Delta vr}{2}}{\hat {\mathbf {z} }}=-{\frac {e^{2}r^{2}}{4m_{e}}}B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
注意到
Δ
μ
{\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}\,\!}
B
{\displaystyle \mathbf {B} \,\!}
抗磁性 的经典解释。可是，抗磁性是一种量子现像，经典解释并不正确。
为了简略计算，使用半经典方法[ 8]
Δ
μ
=
−
e
2
⟨
r
2
⟩
4
m
e
B
z
^
{\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}=-\ {\frac {e^{2}\langle r^{2}\rangle }{4m_{e}}}B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
其中，
⟨
r
2
⟩
{\displaystyle \langle r^{2}\rangle \,\!}
期望值 。
电子和许多其它种类的粒子都具有内禀磁矩。这是一种量子 属性，涉及到量子力学 。详尽细节，请参阅条目电子磁偶极矩 （electron magnetic dipole moment ）。微观的内禀磁矩集聚起来，形成了巨观的磁效应和其它物理现象，例如电子自旋共振 。
电子的磁矩是
μ
=
−
g
e
μ
B
S
/
ℏ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{e}\mu _{B}\mathbf {S} /\hbar \,\!}
其中，
g
e
{\displaystyle g_{e}\,\!}
μ
B
=
e
ℏ
/
2
m
e
{\displaystyle \mu _{B}=e\hbar /2m_{e}\,\!}
波耳磁子 ，
S
{\displaystyle \mathbf {S} \,\!}
按照前面 计算的经典结果，
g
e
=
1
{\displaystyle g_{e}=1\,\!}
狄拉克力学 里，
g
e
=
2
{\displaystyle g_{e}=2\,\!}
量子电动力学 效应，它的实际値稍微大些，
g
S
=
2.002
319
304
36
{\displaystyle g_{S}=2.002\,319\,304\,36\,\!}
请注意，由于这方程式内的负号，电子磁矩与自旋呈相反方向。对于这物理行为，经典电磁学 的解释为：假想自旋角动量是由电子绕著某旋转轴而产生的。因为电子带有负电荷，这旋转所产生的电流的方向是相反的方向，这种载流回路产生的磁矩与自旋呈相反方向。同样的推理，带有正电荷的正子 （电子的反粒子 ），其磁矩与自旋呈相同方向。
在原子内部，可能会有很多个电子。多电子原子的总角动量计算，必须先将每一个电子的自旋总和，得到总自旋，再将每一个电子的轨角动量 总和，得到总轨角动量，最后用角动量耦合 （angular momentum coupling ）方法将总自旋和总轨角动量总和，即可得到原子的总角动量。原子的磁矩
μ
{\displaystyle \mu \,\!}
J
{\displaystyle \mathbf {J} \,\!}
[ 9]
μ
=
−
g
J
μ
B
J
/
ℏ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{J}\mu _{B}\mathbf {J} /\hbar \,\!}
其中，
g
J
{\displaystyle g_{J}\,\!}
朗德g因子 。
磁矩对于磁场方向的分量
μ
z
{\displaystyle \mu _{z}\,\!}
μ
z
=
−
g
J
μ
B
J
z
/
ℏ
{\displaystyle \mu _{z}=-g_{J}\mu _{B}J_{z}/\hbar \,\!}
其中，
J
z
=
J
m
ℏ
{\displaystyle J_{z}=J_{m}\hbar \,\!}
J
m
{\displaystyle J_{m}\,\!}
磁量子数 ，可以取2J+1个整数値，-J、 -J+1、…、J-1、J，之中的任意一个整数值。
因为电子带有负电荷，所以
μ
z
{\displaystyle \mu _{z}\,\!}
处于磁场的磁偶极子的动力学 ，不同于处于电场 的电偶极子 的动力学。磁场会施加力矩于磁偶极子，迫使它依著磁场线 排列。但是，力矩是角动量对于时间的导数。所以，会产生自旋进动 ，也就是说，自旋方向会改变。这物理行为以方程式表达为
1
γ
d
μ
d
t
=
μ
×
H
{\displaystyle {\frac {1}{\gamma }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {H} \,\!}
其中，
γ
{\displaystyle \gamma \,\!}
回转磁比率 （gyromagnetic ratio ） ，
H
{\displaystyle \mathbf {H} \,\!}
注意到这方程式的左手边项目是角动量对于时间的导数，而右手边项目是力矩。磁场又可分为两部分：
H
=
H
e
f
f
−
λ
γ
μ
d
μ
d
t
{\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {H} _{eff}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}\,\!}
其中，
H
e
f
f
{\displaystyle \mathbf {H} _{eff}\,\!}
λ
{\displaystyle \lambda \,\!}
阻尼 系数。
这样，可以得到兰道-李佛西兹-吉尔伯特方程式 （Landau–Lifshitz–Gilbert equation ）[ 10]
1
γ
d
μ
d
t
=
μ
×
H
e
f
f
−
λ
γ
μ
μ
×
d
μ
d
t
{\displaystyle {\frac {1}{\gamma }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {H} _{eff}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu }}{\boldsymbol {\mu }}\times {\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}\,\!}
方程式右边第一个项目描述磁偶极子绕著有效磁场的进动，第二个项目是阻尼项目，会使得进动渐渐减弱，最后消失。兰道-李佛西兹-吉尔伯特方程式是研究磁化动力学最基本的方程式之一。
核子系统是一种由核子 （质子 和中子 ）组成的精密物理系统。自旋是核子的量子性质之一。由于原子核 的磁矩与其核子成员有关，从核磁矩的测量数据，更明确地，从核磁偶极矩的测量数据，可以研究这些量子性质。
虽然有些同位素 原子核的激发态 的衰变期 超长，大多数常见的原子核的自然存在状态是基态 。每一个同位素原子核的能态 都有一个独特的、明显的核磁偶极矩，其大小是一个常数，通过细心设计的实验，可以测量至非常高的精确度。这数值对于原子核内每一个核子的独自贡献非常敏感。若能够测量或预测出这数值，就可以揭示核子波函数 的内涵。现今，有很多理论模型能够预测核磁偶极矩的数值，也有很多种实验技术能够进行原子核测试。
任何分子都具有明确的磁矩。这磁矩可能会跟分子的能态有关。通常而言，一个分子的磁矩是下列贡献的总和，按照典型强度从大至小列出：
假若有未配对电子，则是其自旋所产生的磁矩（顺磁性 贡献）
电子的轨域运动，处于基态时，所产生常与外磁场成正比的磁矩（抗磁性 贡献）
依照核自旋组态，核自旋 所产生的总磁矩。 氧 分子，O2 ，由于其最外面的两个未配对电子的自旋，具有强顺磁性。二氧化碳 分子，CO2 ，由于电子轨域运动而产生的，与外磁场成正比的，很微弱的磁矩。在某些稀有状况下，假若这分子是由具磁性的同位素组成，像13 C或17 O，则此同位素原子核也会将其核磁性贡献给分子的磁矩。氢 分子，H2 ，处于一个弱磁场（或零磁场），会显示出核磁性。氢分子的两种自旋异构体 ，正氢 或仲氢 ，都具有这种物理性质。
^ Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 186, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1 ^ Cardarelli, F., Encyclopaedia of Scientific Units, Weights and Measures: Their SI Equivalences and Origins 2nd , Springer: pp. 20–25, 2004, ISBN 1-8523-3682-X ^ 美国国家标准与技术研究院 （NIST）的实验値：电子磁矩 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）
^ 參閱美國國家標準與技術研究院的Fundamental Physical Constants 網頁： . [2010-04-10 ] . （原始内容存档 于2009-08-22）. ^ Griffiths, David J., Hyperfine splitting in the ground state of hydrogen (PDF) , American Journal of Physics, August 1982, 50 (8): pp. 698 [2010-04-11 ] , （原始内容存档 (PDF) 于2020-05-12） ^ 6.0 6.1 Boyer, Timothy H., The Force on a Magnetic Dipole (PDF) , American Journal of Physics, 1988, 56 (8): pp. 688–692, doi:10.1119/1.15501 [永久失效链接 ^ Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall: pp. 260–262, 1998, ISBN 0-13-805326-X ^ O'Dell, S. L.; Zia, R. K. P., Classical and semiclassical diamagnetism: A critique of treatment in elementary texts (PDF) , American Journal of Physics, Jan 1986, 54 (1): pp. 32–35 [永久失效链接 ^ RJD Tilley, Understanding Solids, John Wiley and Sons: pp. 368, 2004, ISBN 0470852755 ^ Stuart Alan Rice, Advances in chemical physics 128 , Wiley: pp. 208 ff , 2004, ISBN 0471445282
![{\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left[3({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-{\boldsymbol {\mu }}\right]+{\frac {2\mu _{0}}{3}}{\boldsymbol {\mu }}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3219839d198cc171e9fc086190327a1e8c9e144)
![{\displaystyle \mu =\pi r'\,^{2}I=\pi \times 0.05^{2}\times 1\approx 0.008\;[\mathrm {A} \cdot \mathrm {m} ^{2}]=0.008\;[\mathrm {J/T} ]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d26ee6d9fb5121f36b0d403ca5749b2ea056ca74)
![{\displaystyle B={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}2\mu ={\frac {4\pi \times 10^{-7}}{4\pi r^{3}}}\times 2\times 0.008\approx {\frac {1.6\times 10^{-9}}{r^{3}}}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00fc22ede7584bd41652fcde66ce3ae63ea9978f)
![{\displaystyle B=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\mu =-\ {\frac {4\pi \times 10^{-7}}{4\pi r^{3}}}\times 0.008\approx -\ {\frac {0.8\times 10^{-9}}{r^{3}}}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b253da8cd985a73a5a72fdd0ef8facd564cb9837)
![{\displaystyle \tau \approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} ]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd2ab9683195c82d388f8584885a4b48f6151b7f)
![{\displaystyle U\approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {J} ]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/591911ab8461ca280ff496a16fcc2f13ffbe86c2)
.svg)
