稳定流形

在数学动力系统的研究中，稳定（或不稳定）流形指的是以指数率趋向（或远离）某一不变集的点的集合。

定义

以下提供迭代函数或离散动态系统情况下的定义。类似的概念适用于时间演变是由流给出的系统。

令 $M$ 是拓扑空间， ${\textstyle f\colon X\to X}$ 是同胚的。如果 ${\textstyle p}$ 是 ${\textstyle f}$ 的不动点， ${\textstyle p}$ 的稳定集定义为

W^{s}(f,p)=\{q\in X:f^{n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}.

而 ${\textstyle p}$ 的不稳定集定义为

W^{u}(f,p)=\{q\in X:f^{-n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}.

其中 $f^{-1}$ 是 ${\textstyle f}$ 的反函数。

如果 ${\textstyle p}$ 是一个周期为 $k$ 的周期点，那么他就是 $f^{k}$ 的不动点，而且对其稳定集和不稳定集有

{\begin{aligned}W^{s}(f,p)&=W^{s}(f^{k},p),\\W^{u}(f,p)&=W^{u}(f^{k},p).\end{aligned}}

给定 ${\textstyle p}$ 的邻域 ${U}$ ， ${\textstyle p}$ 的局部稳定和不稳定集分别定义为

{\begin{aligned}W_{\mathrm {loc} }^{s}(f,p,U)&=\{q\in U:f^{n}(q)\in U\;\forall n\in \mathbb {N} \cup \{0\}\},\\W_{\mathrm {loc} }^{u}(f,p,U)&=W_{\mathrm {loc} }^{s}(f^{-1},p,U).\end{aligned}}

如果 $X$ 可度量化，那么对任意点 ${\textstyle p}$ 也可以定义稳定和不稳定集为

{\begin{aligned}W^{s}(f,p)&=\{q\in X:d(f^{n}(q),f^{n}(p))\to 0{\mbox{ for }}n\to \infty \},\\W^{u}(f,p)&=W^{s}(f^{-1},p),\end{aligned}}

其中 $d$ 是 $X$ 的度量（这个定义清楚的会和前面周期点的情况相符合）。

Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. Foundations of Mechanics. Reading Mass.: Benjamin/Cummings. 1978. ISBN 0-8053-0102-X.
Sritharan, S. S. Invariant Manifold Theory for Hydrodynamic Transition. New York: John Wiley & Sons. 1990. ISBN 0-582-06781-2.
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