穩定流形

在數學動力系統的研究中，穩定（或不穩定）流形指的是以指數率趨向（或遠離）某一不變集的點的集合。

定義

以下提供迭代函數或離散動態系統情況下的定義。類似的概念適用於時間演變是由流給出的系統。

令 $M$ 是拓撲空間， ${\textstyle f\colon X\to X}$ 是同胚的。如果 ${\textstyle p}$ 是 ${\textstyle f}$ 的不動點， ${\textstyle p}$ 的穩定集定義為

W^{s}(f,p)=\{q\in X:f^{n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}.

而 ${\textstyle p}$ 的不穩定集定義為

W^{u}(f,p)=\{q\in X:f^{-n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}.

其中 $f^{-1}$ 是 ${\textstyle f}$ 的反函數。

如果 ${\textstyle p}$ 是一個周期為 $k$ 的週期點，那麼他就是 $f^{k}$ 的不動點，而且對其穩定集和不穩定集有

{\begin{aligned}W^{s}(f,p)&=W^{s}(f^{k},p),\\W^{u}(f,p)&=W^{u}(f^{k},p).\end{aligned}}

給定 ${\textstyle p}$ 的鄰域 ${U}$ ， ${\textstyle p}$ 的局部穩定和不穩定集分別定義為

{\begin{aligned}W_{\mathrm {loc} }^{s}(f,p,U)&=\{q\in U:f^{n}(q)\in U\;\forall n\in \mathbb {N} \cup \{0\}\},\\W_{\mathrm {loc} }^{u}(f,p,U)&=W_{\mathrm {loc} }^{s}(f^{-1},p,U).\end{aligned}}

如果 $X$ 可度量化，那麼對任意點 ${\textstyle p}$ 也可以定義穩定和不穩定集為

{\begin{aligned}W^{s}(f,p)&=\{q\in X:d(f^{n}(q),f^{n}(p))\to 0{\mbox{ for }}n\to \infty \},\\W^{u}(f,p)&=W^{s}(f^{-1},p),\end{aligned}}

其中 $d$ 是 $X$ 的度量（這個定義清楚的會和前面週期點的情況相符合）。

Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. Foundations of Mechanics. Reading Mass.: Benjamin/Cummings. 1978. ISBN 0-8053-0102-X.
Sritharan, S. S. Invariant Manifold Theory for Hydrodynamic Transition. New York: John Wiley & Sons. 1990. ISBN 0-582-06781-2.
This article incorporates material from Stable manifold （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.