中線或重線是三角形中從某邊的中點連向對角的頂點的線段。三角形的三條中線總是相交於同一點,這個點稱為三角形的重心。
任意三角形的三條中線把三角形分成面積相等的六個部分。中線都把三角形分成面積相等的兩個部分。除此之外,任何其他通過中點的直線都不把三角形分成面積相等的兩個部分。
考慮三角形ABC。設D為 A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} 的中點,E為 B C ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}} 的中點,F為 A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} 的中點,O為重心。
根據定義, A D = D B , A F = F C , B E = E C {\displaystyle AD=DB,AF=FC,BE=EC} ,因此 [ A D O ] = [ B D O ] , [ A F O ] = [ C F O ] , [ B E O ] = [ C E O ] , [ A B E ] = [ A C E ] {\displaystyle [ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],[ABE]=[ACE]} ,其中 [ A B C ] {\displaystyle [ABC]} 表示三角形ABC的面積。
我們有:
因此, [ A B O ] = [ A C O ] {\displaystyle [ABO]=[ACO]} 且 [ A D O ] = [ D B O ] , [ A D O ] = 1 2 [ A B O ] {\displaystyle [ADO]=[DBO],[ADO]={\frac {1}{2}}[ABO]} 。
由於 [ A F O ] = [ F C O ] , [ A F O ] = 1 2 [ A C O ] = 1 2 [ A B O ] = [ A D O ] {\displaystyle [AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]} ,所以 [ A F O ] = [ F C O ] = [ D B O ] = [ A D O ] {\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]} 。 同理,也可以證明 [ A F O ] = [ F C O ] = [ D B O ] = [ A D O ] = [ B E O ] = [ C E O ] {\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]} 。
在 △ {\displaystyle \triangle } ABC中,連接角A的中線記為 m a {\displaystyle m_{a}} ,連接角B的中線記為 m b {\displaystyle m_{b}} ,連接角C的中線記為 m c {\displaystyle m_{c}} ,它們長度的公式為:
同理,可證得其他二式
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