中线

三角形中从某边的中点连向其对角顶点的线段

中线重线三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段。三角形的三条中线总是相交于同一点,这个点称为三角形的重心

图中 ABC和中线AD

性质1

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任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。中线都把三角形分成面积相等的两个部分。除此之外,任何其他通过中点的直线都不把三角形分成面积相等的两个部分。

证明

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考虑三角形ABC。设D 的中点,E 的中点,F 的中点,O为重心。

根据定义, ,因此 ,其中 表示三角形ABC面积

我们有:

 
 

因此,  

由于 ,所以 。 同理,也可以证明 

性质2

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  ABC中,连接角A的中线记为 ,连接角B的中线记为 ,连接角C的中线记为 ,它们长度的公式为:

 
 
 

证明

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 ABD中, 
 余弦定理
以a,b,c表示 
  &  
把以上两等式代入原式,
 
 
 
 
 

同理,可证得其他二式

Q.E.D.

参见

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