中線

三角形中从某边的中点连向其对角顶点的线段

中線重線三角形中從某邊的中點連向對角的頂點的線段。三角形的三條中線總是相交於同一點,這個點稱為三角形的重心

圖中 ABC和中線AD

性質1

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任意三角形的三條中線把三角形分成面積相等的六個部分。中線都把三角形分成面積相等的兩個部分。除此之外,任何其他通過中點的直線都不把三角形分成面積相等的兩個部分。

證明

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考慮三角形ABC。設D 的中點,E 的中點,F 的中點,O為重心。

根據定義, ,因此 ,其中 表示三角形ABC面積

我們有:

 
 

因此,  

由於 ,所以 。 同理,也可以證明 

性質2

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  ABC中,連接角A的中線記為 ,連接角B的中線記為 ,連接角C的中線記為 ,它們長度的公式為:

 
 
 

證明

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 ABD中, 
 餘弦定理
以a,b,c表示 
  &  
把以上兩等式代入原式,
 
 
 
 
 

同理,可證得其他二式

Q.E.D.

參見

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