可分多項式
數學中,可分多項式在不同的作者的書下有兩個略微不同的定義。
最常見的一個定義是:當在一個給定域K上的多項式P(X)在K的代數閉包中有不同的根時,稱多項式為可分的。換言之它的互異根的數量需要等於多項式的次數[1]。在多項式因式分解的觀點下,這樣的多項式是無平方多項式。
第二個定義,當P(X)在K[X]中的每個不可約因子在K的代數閉包中的根互不相同,此時稱P(X)是可分的。這意味着每個不可約因子是無平方項的[2]。在這個定義中,可分性依賴於K,比如任何一個不可分的不可約多項式P在它的分裂域上都變成可分的了。並且在這個定義下,每個完美域上的多項式是可分的,這包含了0特徵域和所有有限域。
兩個定義對於K上不可約多項式是等價的,這個被用來定義域K的可分擴張。
在條目的餘下部分我們只用第一個定義。
域的可分擴張
編輯可分多項式被用於定義可分擴張:一個域擴張 是一個可分擴張當且僅當對任意的代數元 , 在K上的極小多項式是可分多項式。
由定義可以立馬得到如果P是不可約的並且不可分,那麼P'(X)=0.因此必須有:
P(X) = Q(Xp)
對某個K上多項式Q成立,當中p是K的特徵。
對此,我們能夠構造一個例子:
P(X) = Xp − T
當中K是在有限域Fp上的不定元T的有理函數組成的域。 這裡可以直接證明P(X)是不可約的,並且不可分。事實上這是為什麼不可分性需要被強調的一個例子;用幾何的語言來說,P代表了有限域上的一個射影直線,將坐標取p次冪。這樣的映射對有限域上的代數幾何是基礎的。換言之,存在一些不能用伽羅華理論來描述的覆蓋。(見根態射(radical morphism)條目尋找更高層次的闡述)
若L是域擴張
- K(T1/p),
換言之是P的分裂域,則L/K是一個純不可分域擴張的例子。它的次數是p,但是除了恆等映射沒有保K不變的態射,因為T1/p是P的唯一一個根。這直接證明了伽羅華理論在這裡不適用。一個沒有此類擴張的域稱為完美域。
可以證明L和它自己在K上的張量積有非零的冪零元。這又一次證明了不可分性:這是說域上的張量積操作不需要形成一個域的積環(因此沒有交換的半單環)。
伽羅華理論中的應用
編輯可分多項式常在伽羅華理論中出現。
比如,令P是一個整係數不可約多項式而p是一個不整除P首項係數的素數。Q是有限域Fp上的上由P模p約化而來的多項式。則若Q可分則Q不可約因子的次數是P的伽羅華群的某個置換的長度。
另一個例子:P同上,一個群G的預解式R是一個係數為p為係數的多項式的多項式,R提供了關於P的伽羅華群的信息。更準確的說,若R是可分的並且有有理根則P的伽羅華群包含於G。例如若D是P的判別式,則X2-D是交錯群的預解式。當P是可約的這個預解式總是可分的,但是大多的預解式是不可分的。
參考資料
編輯- Pages 240-241 of Lang, Serge, Algebra Third, Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co., 1993, ISBN 978-0-201-55540-0