張量代數

在數學中，一個向量空間$V$的張量代數（tensor algebra），記作$T(V)$，是$V$上的（任意階）張量的代數，其乘法為張量積。張量代數左伴隨於從代數到向量空間的遺忘函子，在這種意義下它是$V$上的自由代數；在相應的泛性質的意義下，它是包含$V$的「最一般的代數」（見下）。

張量代數也具有余代數結構。

注：本文中所有代數都假設是有單位的且結合。

構造

設$V$是域$K$上一個向量空間。對任何非負整數$k$，我們定以$V$的$k$次張量積為$V$與自己的$k$次張量積：

$T^{k}V=V^{\otimes k}={\underset {k}{\underbrace {V\otimes V\otimes \cdots \otimes V} }}$。

這便是講，$T^{k}V$由$V$上所有秩$k$張量組成。習慣上$T^{0}V$是基域$K$（作為自己的一維向量空間）。

令$T(V)$為所有$T^{k}V$（$k=0,1,2,\ldots$）的直和：

$T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots$。

$T(V)$中的乘法由典範同構確定：

$T^{k}V\otimes T^{\ell }V\to T^{k+\ell }V$

由張量積給出，然後線性擴張到所有$T(V)$。此乘法表明張量代數$T(V)$自然是一個分次代數，$T^{k}V$作為$k$次子空間。

此構造可徑直推廣到任意交換環上的模$M$上。如果$R$是一個非交換環，我們仍然可以對任意$R$-$R$ 雙模執行這樣的構造。（對通常的$R$-模不行，因為沒有迭代張量積。）

伴隨與泛性質

張量代數$T(V)$也成為向量空間$V$上的自由代數，並具有函子性。像其它自由構造一樣，函子$T$左伴隨於某個遺忘函子，該函子將每個$K$-代數送到它的底向量空間。

準確地說，張量代數滿足如下的泛性質，正式地表明它是包含$V$的最一般的代數：

任何從$V$到$K$上的一個代數$A$的線性變換$f:V\rightarrow A$可以惟一地擴張為從$T(V)$到$A$的一個代數同態，如下交換圖表所示：

張量代數的泛性質

這裡$i$是$V$到$T(V)$的典範包含（伴隨的單位）。事實上可以定義張量代數$T(V)$為滿足這個性質惟一的代數（確切地說，在惟一的一個同構意義下），但仍然要證明滿足這個性質的對象存在。

如上泛性質說明張量代數的構造有自然的函子性。就是講，$T$是從$K$-Vect，$K$上向量空間範疇，到$K$-Alg，$K$-代數範疇，的一個函子。$T$的函子性意味着任何從V到W的線性映射惟一地擴張為從$T(V)$到$T(W)$的代數同態。

非交換多項式

如果$V$為有限維$n$，張量代數的另一個看法是「 $K$上$n$個非交換變量的多項式代數」。如果我們取$V$的基向量，它們成為$T(V)$中的非交換變量（或不定元），彼此間沒有任何約束（除了結合律，分配律以及K-線性）。

注意$V$上的多項式代數不是$T(V)$，而是$T(V^{*})$：$V$上一個（齊次）線性函數是$V^{*}$中的一個元素。

商

因為張量代數的一般性，許多其它有趣的代數可以由張量代數開始構造，然後在生成元上施以一定的關係，即構造$T(V)$一定的商代數。這樣的例子譬如外代數、對稱代數、克利福德代數以及泛包絡代數。

余代數結構

張量代數上的余代數結構如下。余積$\Delta$定義為

$\Delta (v_{1}\otimes \dots \otimes v_{m}):=\sum _{i=0}^{m}(v_{1}\otimes \dots \otimes v_{i})\otimes (v_{i+1}\otimes \dots \otimes v_{m})$

線性擴張到整個$TV$。余單位由$\varepsilon (v)=v$的0-次分量。注意到$\Delta :TV\rightarrow TV\otimes TV$保持分次：

$T^{m}V\to \bigoplus _{i+j=m}T^{i}V\otimes T^{j}V$

而$\varepsilon$也與分次相容。

張量代數在這個余積下不是雙代數。但下述更複雜的余積確實得到一個余代數：

$\Delta (x_{1}\otimes \dots \otimes x_{m})=\sum _{p=0}^{m}\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} _{p,m-p}}\left(v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}\right)\otimes \left(v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}\right)$

這裡求和取遍所有(p,m-p)-牌序。最後，對極映射為：

$S(x_{1}\otimes \dots \otimes x_{m})=(-1)^{m}x_{m}\otimes \dots \otimes x_{1}$

線性擴張到整個$TV$，這樣張量代數成為一個霍普夫代數。

參見

• 對稱代數
• 幺半範疇
• Stanisław Lem's Love and Tensor Algebra

參考文獻

• 陳維桓. 微分流形初步 第二版. 北京: 高等教育出版社. 2001年8月. 
• Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician(2nd ed.). GTM5. Spinger, 1998