拉比判別法(英語:Raabe's Test)是判斷一個級數收歛的方法。在判斷比幾何級數收斂得慢的級數時,比柯西判別法達朗貝爾判別法更有效。[1]

無窮級數
無窮級數

定理

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對任意級數 

  • 如果存在    ,使得當   時,有
 
那麼級數 絕對收斂
  • 如果對充分大的   ,有
 
那麼級數 發散。[1]

極限形式

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對任意級數  ,令

 
  •   時級數絕對收斂
  •   時說明級數   發散(沒有絕對收斂),原級數   可能收斂也可能發散。
  •   時級數可能收斂也可能發散[2][3]

證明

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  •   時,存在   使得  . 則:
 
  對充分大的  
 
 

因為當   時級數   收斂,故級數    時收斂,即級數   絕對收斂。 [4]

  •   時,有
 ,則
 ,即
 
由於   發散,故   發散。[1]

例子

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  時無法判斷其斂散性,舉例如下:

已知有
 
 
已知當   時,  ;當   時,  ,然而由上式得
 
這說明當   時,拉比判別法無效。[5]

參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 常庚哲,史濟懷. 数学分析教程(下册). 安徽合肥: 中國科學技術大學出版社. 2013: 第173頁. ISBN 9787312031311. 
  2. ^ 謝惠民. 数学分析习题课讲义. 北京: 高等教育出版社. 2004: 第8頁. ISBN 9787040129410. 
  3. ^ Weisstein, Eric W. (編). Raabe's Test. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2015-09-02]. (原始內容存檔於2015-04-02) (英語). 
  4. ^ Mathumatiks :: Raabes Test and Logarithmic Test. mathumatiks.org. [2015-09-03]. (原始內容存檔於2016-03-04). 
  5. ^ Weisstein, Eric W. (編). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2015-09-02]. (原始內容存檔於2015-09-05) (英語).