拉比判别法

拉比判别法（英语：Raabe's Test）是判断一个实级数收敛的方法。在判断比几何级数收敛得慢的级数时，比柯西判别法、达朗贝尔判别法更有效。

定理

对任意级数$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

• 如果存在 $r>1$ ，$n_{0}\in \mathbb {N} ^{*}$ ,使得当 $n>n_{0}$ 时，有

$n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)\geq r$，

那么级数$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$绝对收敛。

• 如果对充分大的 $n$ ，有

$n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)\leq 1$，

那么级数$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$发散。

极限形式

对任意级数$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ ，令

$\lim _{n\to \infty }n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)=r,$

• $r>1$ 时级数绝对收敛
• $r<1$ 时说明级数 $\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ 发散(没有绝对收敛)，原级数 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 可能收敛也可能发散。
• $r=1$ 时级数可能收敛也可能发散

证明

• 当 $r>1$ 时，存在 $p$ 使得 $r>p>1$. 则:

$\lim _{n\to \infty }n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)=r>p=\lim _{n\to \infty }n\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{p}-1\right)$

$\Rightarrow \quad n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)>n\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{p}-1\right)\quad$ 对充分大的 $n$

$\Rightarrow \quad \left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|>{\frac {(n+1)^{p}}{n^{p}}}$

$\Rightarrow \quad \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<{\frac {\frac {1}{(n+1)^{p}}}{\frac {1}{n^{p}}}}$

因为当 $p>1$ 时级数 $\sum n^{-p}$ 收敛，故级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|$ 在 $r>1$ 时收敛，即级数 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 绝对收敛。

• 当 $r<1$ 时，有

$n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)\leq 1,$，则

$\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|\leq 1+{\frac {1}{n}}={\frac {n+1}{n}}$，即

$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq {\frac {n}{n+1}}={\frac {\frac {1}{n+1}}{\frac {1}{n}}}$

由于 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ 发散，故 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 发散。

例子

当 $r=1$ 时无法判断其敛散性，举例如下:

已知有

${\frac {n+1}{n}}({\frac {\ln(n+1)}{\ln n}})^{\alpha }=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {\alpha }{n\ln n}}+o({\frac {1}{n\ln n}})$

令 $a_{n}={\frac {1}{n(\ln n)^{\alpha }}}$

已知当 $\alpha >1$ 时，$\sum _{n=2}^{\infty }a_{n}<+\infty$ ；当 $\alpha \leq 1$ 时，$\sum _{n=2}^{\infty }a_{n}=\infty$ ，然而由上式得

$n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)=1+{\frac {\alpha }{\ln n}}+o({\frac {1}{\ln n}})\rightarrow 1(n\rightarrow \infty )$

这说明当 $r=1$ 时，拉比判别法无效。