施瓦茨-克里斯托費爾映射

數學複分析中,施瓦茨—克里斯托費爾(Schwarz-Christoffel)映射複平面的變換,把上半平面共形地映射到一個多邊形。施瓦茨—克里斯托費爾映射可用在位勢論和其它應用,包括極小曲面流體力學中。施—克映射有一個缺陷,它無法較好的處理不規則幾何圖形和有孔的情況,這個問題已被倫敦皇家學院應用數學教授Darren Crowdy解決。施—克映射的名字取自埃爾溫·布魯諾·克里斯托費爾赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨

定義

編輯

考慮複平面上一個多邊形。黎曼映射定理指出存在一個一一對應解析映射f從上半平面

 

到多邊形的內部。函數f把實數軸映射到多邊形的邊。若多邊形內角為 ,那麼映射由下式給出:

 

其中 常數  平面的實軸上的點的值,對應 平面上的多邊形的頂點。這形式的變換稱為施瓦茨—克里斯托費爾映射。

為了簡便,通常會考慮一種特殊情況,就是當 平面的無窮遠點映射到 平面的多邊形其中一頂點(習慣是內角為 的頂點)。如此,公式的第一個因式實際上是個常數,可以合併進 裡。

例子

編輯

考慮 平面中的半無窮帶。這可以視作頂點 ,   三角形,當 趨向無窮大的極限情形。極限時有  。假設我們要找映射f,有f(−1) = Qf(1) = P,和f(∞) = R,那麼f

 

計算積分得到

 

其中 是個(複)積分常數。條件  給出  。因此施瓦茨—克里斯托費爾積分是 。下圖描繪這個映射。

 
從上半平面到半無窮帶的施瓦茨—克里斯托費爾映射

其它簡單映射

編輯

三角形

編輯

到內角為   三角形的映射是

 

正方形

編輯

從上半平面到正方形的映射是

 

其中 是第一類不完全橢圓積分

廣義三角形

編輯

施瓦茨三角形映射把上半平面映射到其邊是圓弧的三角形。

參看

編輯

參考

編輯
  • Tobin A. Driscoll and Lloyd N. Trefethen, Schwarz-Christoffel Mapping, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-80726-3.
  • Z. Nehari, Conformal Mapping, (1952) McGraw-Hill, New York.
  • Darren Crowdy,[1]Schwarz-Christoffel mappings to unbounded multiply connected polygonal regions,Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (2007),142, 319.