施瓦茨-克里斯托費爾映射
在數學的複分析中,施瓦茨—克里斯托費爾(Schwarz-Christoffel)映射是複平面的變換,把上半平面共形地映射到一個多邊形。施瓦茨—克里斯托費爾映射可用在位勢論和其它應用,包括極小曲面和流體力學中。施—克映射有一個缺陷,它無法較好的處理不規則幾何圖形和有孔的情況,這個問題已被倫敦皇家學院應用數學教授Darren Crowdy解決。施—克映射的名字取自埃爾溫·布魯諾·克里斯托費爾和赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨。
定義
編輯考慮複平面上一個多邊形。黎曼映射定理指出存在一個一一對應解析映射f從上半平面
到多邊形的內部。函數f把實數軸映射到多邊形的邊。若多邊形內角為 ,那麼映射由下式給出:
- ,
其中 是常數, 是 平面的實軸上的點的值,對應 平面上的多邊形的頂點。這形式的變換稱為施瓦茨—克里斯托費爾映射。
為了簡便,通常會考慮一種特殊情況,就是當 平面的無窮遠點映射到 平面的多邊形其中一頂點(習慣是內角為 的頂點)。如此,公式的第一個因式實際上是個常數,可以合併進 裡。
例子
編輯考慮 平面中的半無窮帶。這可以視作頂點是 , 和 的三角形,當 趨向無窮大的極限情形。極限時有 和 。假設我們要找映射f,有f(−1) = Q,f(1) = P,和f(∞) = R,那麼f是
- 。
計算積分得到
其中 是個(複)積分常數。條件 和 給出 和 。因此施瓦茨—克里斯托費爾積分是 。下圖描繪這個映射。
其它簡單映射
編輯三角形
編輯到內角為 , 和 的三角形的映射是
- 。
正方形
編輯從上半平面到正方形的映射是
- ,
其中 是第一類不完全橢圓積分。
廣義三角形
編輯施瓦茨三角形映射把上半平面映射到其邊是圓弧的三角形。
參看
編輯- 在施瓦茨—克里斯托費爾理論中出現的施瓦茨導數。
參考
編輯- Tobin A. Driscoll and Lloyd N. Trefethen, Schwarz-Christoffel Mapping, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-80726-3.
- Z. Nehari, Conformal Mapping, (1952) McGraw-Hill, New York.
- Darren Crowdy,[1]Schwarz-Christoffel mappings to unbounded multiply connected polygonal regions,Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (2007),142, 319.