施瓦茨-克里斯托費爾映射

在數學的複分析中，施瓦茨—克里斯托費爾（Schwarz-Christoffel）映射是複平面的變換，把上半平面共形地映射到一個多邊形。施瓦茨—克里斯托費爾映射可用在位勢論和其它應用，包括極小曲面和流體力學中。施—克映射有一個缺陷，它無法較好的處理不規則幾何圖形和有孔的情況，這個問題已被倫敦皇家學院應用數學教授Darren Crowdy解決。施—克映射的名字取自埃爾溫·布魯諾·克里斯托費爾和赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨。

定義

考慮複平面上一個多邊形。黎曼映射定理指出存在一個一一對應解析映射f從上半平面

$\{\zeta \in \mathbb {C} :\operatorname {Im} \,\zeta >0\}$

到多邊形的內部。函數f把實數軸映射到多邊形的邊。若多邊形內角為$\alpha ,\beta ,\gamma ,...$，那麼映射由下式給出：

$f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {K}{(w-a)^{1-(\alpha /\pi )}(w-b)^{1-(\beta /\pi )}(w-c)^{1-(\gamma /\pi )}\cdots }}\,{\mbox{d}}w$，

其中$K$是常數，$a<b<c<...$是$\zeta$平面的實軸上的點的值，對應$z$平面上的多邊形的頂點。這形式的變換稱為施瓦茨—克里斯托費爾映射。

為了簡便，通常會考慮一種特殊情況，就是當$\zeta$平面的無窮遠點映射到$z$平面的多邊形其中一頂點（習慣是內角為$\alpha$的頂點）。如此，公式的第一個因式實際上是個常數，可以合併進$K$裏。

例子

考慮$z$平面中的半無窮帶。這可以視作頂點是$P=0$, $Q=\pi i$和$R$的三角形，當$R$趨向無窮大的極限情形。極限時有$\alpha =0$和$\beta =\gamma =\pi /2$。假設我們要找映射f，有f(−1) = Q，f(1) = P，和f(∞) = R，那麼f是

$f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {K}{(w-1)^{1/2}(w+1)^{1/2}}}\,{\mbox{d}}w\,$。

計算積分得到

$z=f(\zeta )=C+K\operatorname {arccosh} \,\zeta ,$

其中$C$是個（複）積分常數。條件$f(-1)=Q$和$f(1)=P$給出$C=0$和$K=1$。因此施瓦茨—克里斯托費爾積分是$z=\operatorname {arccosh} \,\zeta$。下圖描繪這個映射。

從上半平面到半無窮帶的施瓦茨—克里斯托費爾映射

其它簡單映射

三角形

到內角為$\pi a$，$\pi b$和$\pi (1-a-b)$的三角形的映射是

$z=f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {dw}{(w-1)^{1-a}(w+1)^{1-b}}}$。

正方形

從上半平面到正方形的映射是

$z=f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {{\mbox{d}}w}{\sqrt {w(w^{2}-1)}}}={\sqrt {2}}\,F\left({\sqrt {\zeta +1}};{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)$，

其中$F\,$是第一類不完全橢圓積分。

廣義三角形

施瓦茨三角形映射把上半平面映射到其邊是圓弧的三角形。

參看

• 在施瓦茨—克里斯托費爾理論中出現的施瓦茨導數。

參考

• Tobin A. Driscoll and Lloyd N. Trefethen, Schwarz-Christoffel Mapping, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-80726-3.

• Z. Nehari, Conformal Mapping, (1952) McGraw-Hill, New York.

• Darren Crowdy，[1]Schwarz-Christoffel mappings to unbounded multiply connected polygonal regions，Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (2007)，142, 319.