朗道-利夫希茲方程

在物理學上，朗道-利夫希茲-吉爾伯特方程（Landau–Lifshitz–Gilbert），是以列夫·達維多維奇·朗道、葉夫根尼·利夫希茨和T·L·吉爾伯特命名的物理方程，以差分方程為基礎闡述一個進動磁性粒子的自發磁化。由T·L·吉爾伯特修改列夫·達維多維奇·朗道、葉夫根尼·利夫希茨的方程得到。該方程可以描述無外場作用下粒子受平均場作用而產生的運動。該方程直接暗示了自旋系統存在孤子。 朗道-利夫希茲方程是非線性偏微分方程，該方程有單一孤子的嚴格解，對於多孤子情形，可以採取數值方法求解。該方程在在不同情形下模擬微磁性磁場的鐵磁性磁場，尤其孤子於磁場的時閾行為。. 附加方程用於闡述自旋極化電流對磁體的影響。

朗道-利夫希茲方程

朗道-利夫希茲方程：紅色代表進動藍色代表阻尼。磁化（虛線螺旋）的軌跡的簡化假設，即有效場H_eff為恆定.

設一個鐵磁體，磁化強度M可在其內部發生變化，但每一點擁有相等的磁飽和強度M_S.朗道-利夫希茲-吉爾伯特方程對磁化響應於轉矩的旋轉，引入:

${\frac {d\mathbf {M} }{dt}}=-\gamma \mathbf {M} \times \mathbf {H_{\mathrm {eff} }} -\lambda \mathbf {M} \times \left(\mathbf {M} \times \mathbf {H_{\mathrm {eff} }} \right)$

1

其中，γ 是孤子旋磁比，λ是現象阻尼參數，則：

$\lambda =\alpha {\frac {\gamma }{M_{\mathrm {s} }}},$

其中，α是一個無量綱常數，稱為阻尼因子。有效場場H_eff為外部場的一個組合時，退磁場（磁化磁場）的量子力學效應。解方程前提是包含用於退磁場的附加方程。

採用不可逆的統計力學法，可獨立推導出朗道-利夫希茲方程。

朗道-利夫希茲-吉爾伯特方程

1955年吉爾伯特由一個依賴於磁場的時間導數取代了朗道-利夫希茲的阻尼項：

${\frac {d\mathbf {M} }{dt}}=-\gamma \left(\mathbf {M} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }-\eta \mathbf {M} \times {\frac {d\mathbf {M} }{dt}}\right)$

2b

其中，η 是材料特性的阻尼參數。它可以轉化為朗道-利夫希茲方程：

${\frac {d\mathbf {M} }{dt}}=-\gamma '\mathbf {M} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }-\lambda \mathbf {M} \times (\mathbf {M} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} })$

2a

由此：

$\gamma '={\frac {\gamma }{1+\gamma ^{2}\eta ^{2}M_{s}^{2}}}\qquad {\text{and}}\qquad \lambda ={\frac {\gamma ^{2}\eta }{1+\gamma ^{2}\eta ^{2}M_{s}^{2}}}.$

此情形的朗道-利夫希茲方程中，進動期γ'依賴於阻尼項。這更好地代表現實中磁體影響時，阻尼較大。

方程形式

普通形式

該方程的基本思想就是，在規範場作用下，粒子的運動本身會產生電磁場，而這種電磁場可以自我驅動於每一個粒子

${\dot {\vec {m}}}(x,t)={\vec {m}}\times \nabla ^{2}{\vec {m}}$

協變形式

協變情況下，$D_{t}=\partial _{t}+iv\cdot \nabla$, 這裡的速度代表的是粒子運動的群速度。

$D_{t}{\vec {m}}(x,t)={\vec {m}}\times \nabla ^{2}{\vec {m}}$

物理意義

平均場引發的自我驅動往往具有自持效果，這種效果的體現就是一群粒子可以形成穩定的孤子波。這就是磁性孤子。

參考文獻

• Landau-Lifshitz equation, B Guo and S Ding, World Scientific, ISBN 109812778756

延伸閱讀

• Amikam Aharoni. Introduction to the Theory of Ferromagnetism. Clarendon Press. 1996. ISBN 0-19-851791-2. （原始內容存檔於2011-06-29）. 
• William Fuller Brown, Jr. Micromagnetics. Robert E. Krieger Publishing Co. 1978 [Originally published in 1963]. ISBN 0-88275-665-6. 
• Chikazumi, Sōshin. Physics of Ferromagnetism. Clarendon Press. 1997. ISBN 0-19-851776-9. 
• Gilbert, T.L., A Lagrangian formulation of the gyromagnetic equation of the magnetic field, Physical Review, 1955, 100: 1243, Bibcode:1955PhRv..100.1235., doi:10.1103/PhysRev.100.1235.  This is only an abstract; the full report is "Armor Research Foundation Project No. A059, Supplementary Report, May 1, 1956", but was never published. A description of the work is given in Gilbert, T. L., A phenomenological theory of damping in ferromagnetic materials, IEEE Trans. Mag., 2004, 40 (6): 3443–3449, Bibcode:2004ITM....40.3443G, doi:10.1109/TMAG.2004.836740 
• Landau, L.D.; Lifshitz, E.M., Theory of the dispersion of magnetic permeability in ferromagnetic bodies, Phys. Z. Sowietunion, 1935, 8, 153 
• Skrotskiĭ, G V, The Landau-Lifshitz equation revisited, Sov. Phys. Usp., 1984, 27 (12): 977–979, Bibcode:1984SvPhU..27..977S, doi:10.1070/PU1984v027n12ABEH004101 
• Guo, Boling; Ding, Shijin, Landau-Lifshitz Equations, Frontiers of Research With the Chinese Academy of Sciences, World Scientific Publishing Company, 2008, ISBN 978-981-277-875-8 
• Cimrak, Ivan, A Survey on the Numerics and Computations for the Landau-Lifshitz Equation of Micromagnetism (PDF), Archives of Comp. Meth. Eng., 2007, 15 (3): 1–37 [2015-07-04], doi:10.1007/BF03024947, （原始內容 (PDF)存檔於2015-07-05） 
• M, Lakshmanan, The fascinating world of the Landau–Lifshitz–Gilbert equation: an overview (PDF), Phil. Trans. R. Soc. A, 2010, 369 (1939): 1280–1300, Bibcode:2011RSPTA.369.1280L, arXiv:1101.1005 , doi:10.1098/rsta.2010.0319