朗道-利夫希兹方程

在物理学上，朗道-利夫希兹-吉尔伯特方程（Landau–Lifshitz–Gilbert），是以列夫·达维多维奇·朗道、叶夫根尼·利夫希茨和T·L·吉尔伯特命名的物理方程，以差分方程为基础阐述一个进动磁性粒子的自发磁化。由T·L·吉尔伯特修改列夫·达维多维奇·朗道、叶夫根尼·利夫希茨的方程得到。该方程可以描述无外场作用下粒子受平均场作用而产生的运动。该方程直接暗示了自旋系统存在孤子。 朗道-利夫希兹方程是非线性偏微分方程，该方程有单一孤子的严格解，对于多孤子情形，可以采取数值方法求解。该方程在在不同情形下模拟微磁性磁场的铁磁性磁场，尤其孤子于磁场的时阈行为。. 附加方程用于阐述自旋极化电流对磁体的影响。

朗道-利夫希兹方程

朗道-利夫希兹方程：红色代表进动蓝色代表阻尼。磁化（虚线螺旋）的轨迹的简化假设，即有效场H_eff为恒定.

设一个铁磁体，磁化强度M可在其内部发生变化，但每一点拥有相等的磁饱和强度M_S.朗道-利夫希兹-吉尔伯特方程对磁化响应于转矩的旋转，引入:

${\frac {d\mathbf {M} }{dt}}=-\gamma \mathbf {M} \times \mathbf {H_{\mathrm {eff} }} -\lambda \mathbf {M} \times \left(\mathbf {M} \times \mathbf {H_{\mathrm {eff} }} \right)$

1

其中，γ 是孤子旋磁比，λ是现象阻尼参数，则：

$\lambda =\alpha {\frac {\gamma }{M_{\mathrm {s} }}},$

其中，α是一个无量纲常数，称为阻尼因子。有效场场H_eff为外部场的一个组合时，退磁场（磁化磁场）的量子力学效应。解方程前提是包含用于退磁场的附加方程。

采用不可逆的统计力学法，可独立推导出朗道-利夫希兹方程。

朗道-利夫希兹-吉尔伯特方程

1955年吉尔伯特由一个依赖于磁场的时间导数取代了朗道-利夫希兹的阻尼项：

${\frac {d\mathbf {M} }{dt}}=-\gamma \left(\mathbf {M} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }-\eta \mathbf {M} \times {\frac {d\mathbf {M} }{dt}}\right)$

2b

其中，η 是材料特性的阻尼参数。它可以转化为朗道-利夫希兹方程：

${\frac {d\mathbf {M} }{dt}}=-\gamma '\mathbf {M} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }-\lambda \mathbf {M} \times (\mathbf {M} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} })$

2a

由此：

$\gamma '={\frac {\gamma }{1+\gamma ^{2}\eta ^{2}M_{s}^{2}}}\qquad {\text{and}}\qquad \lambda ={\frac {\gamma ^{2}\eta }{1+\gamma ^{2}\eta ^{2}M_{s}^{2}}}.$

此情形的朗道-利夫希兹方程中，进动期γ'依赖于阻尼项。这更好地代表现实中磁体影响时，阻尼较大。

方程形式

普通形式

该方程的基本思想就是，在规范场作用下，粒子的运动本身会产生电磁场，而这种电磁场可以自我驱动于每一个粒子

${\dot {\vec {m}}}(x,t)={\vec {m}}\times \nabla ^{2}{\vec {m}}$

协变形式

协变情况下，$D_{t}=\partial _{t}+iv\cdot \nabla$, 这里的速度代表的是粒子运动的群速度。

$D_{t}{\vec {m}}(x,t)={\vec {m}}\times \nabla ^{2}{\vec {m}}$

物理意义

平均场引发的自我驱动往往具有自持效果，这种效果的体现就是一群粒子可以形成稳定的孤子波。这就是磁性孤子。

参考文献

• Landau-Lifshitz equation, B Guo and S Ding, World Scientific, ISBN 109812778756

延伸阅读

• Amikam Aharoni. Introduction to the Theory of Ferromagnetism. Clarendon Press. 1996. ISBN 0-19-851791-2. （原始内容存档于2011-06-29）. 
• William Fuller Brown, Jr. Micromagnetics. Robert E. Krieger Publishing Co. 1978 [Originally published in 1963]. ISBN 0-88275-665-6. 
• Chikazumi, Sōshin. Physics of Ferromagnetism. Clarendon Press. 1997. ISBN 0-19-851776-9. 
• Gilbert, T.L., A Lagrangian formulation of the gyromagnetic equation of the magnetic field, Physical Review, 1955, 100: 1243, Bibcode:1955PhRv..100.1235., doi:10.1103/PhysRev.100.1235.  This is only an abstract; the full report is "Armor Research Foundation Project No. A059, Supplementary Report, May 1, 1956", but was never published. A description of the work is given in Gilbert, T. L., A phenomenological theory of damping in ferromagnetic materials, IEEE Trans. Mag., 2004, 40 (6): 3443–3449, Bibcode:2004ITM....40.3443G, doi:10.1109/TMAG.2004.836740 
• Landau, L.D.; Lifshitz, E.M., Theory of the dispersion of magnetic permeability in ferromagnetic bodies, Phys. Z. Sowietunion, 1935, 8, 153 
• Skrotskiĭ, G V, The Landau-Lifshitz equation revisited, Sov. Phys. Usp., 1984, 27 (12): 977–979, Bibcode:1984SvPhU..27..977S, doi:10.1070/PU1984v027n12ABEH004101 
• Guo, Boling; Ding, Shijin, Landau-Lifshitz Equations, Frontiers of Research With the Chinese Academy of Sciences, World Scientific Publishing Company, 2008, ISBN 978-981-277-875-8 
• Cimrak, Ivan, A Survey on the Numerics and Computations for the Landau-Lifshitz Equation of Micromagnetism (PDF), Archives of Comp. Meth. Eng., 2007, 15 (3): 1–37 [2015-07-04], doi:10.1007/BF03024947, （原始内容 (PDF)存档于2015-07-05） 
• M, Lakshmanan, The fascinating world of the Landau–Lifshitz–Gilbert equation: an overview (PDF), Phil. Trans. R. Soc. A, 2010, 369 (1939): 1280–1300, Bibcode:2011RSPTA.369.1280L, arXiv:1101.1005 , doi:10.1098/rsta.2010.0319