數學上，共形和擬共形映射的理論中，一個曲線族 Γ {\displaystyle \Gamma } 的極值長度是 Γ {\displaystyle \Gamma } 的一個共形不變量。確切來說，設 D {\displaystyle D} 是複平面中的開集， Γ {\displaystyle \Gamma } 是 D {\displaystyle D} 中的路徑族， f : D → D ′ {\displaystyle f:D\to D'} 是一個共形映射。那麼 Γ {\displaystyle \Gamma } 的極值長度等於 Γ {\displaystyle \Gamma } 在 f {\displaystyle f} 下的像的極值長度。因此極值長度是研究共形映射的有用工具。
設 D {\displaystyle D} 是複平面中的開集。設 Γ {\displaystyle \Gamma } 是在 D {\displaystyle D} 中的可求長曲線族。 ρ : D → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \rho :D\to [0,\infty ]} 是博雷爾可測函數。對任意可求長曲線 γ {\displaystyle \gamma } ，設
表示 γ {\displaystyle \gamma } 的 ρ {\displaystyle \rho } 長度，其中 | d z | {\displaystyle |dz|} 表示歐氏線元。（可能有 L ρ ( γ ) = ∞ {\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\infty } 。）又設
ρ {\displaystyle \rho } 的面積定義為
而 Γ {\displaystyle \Gamma } 的極值長度定義為
其中最小上界是取自所有滿足 0 < A ( ρ ) < ∞ {\displaystyle 0<A(\rho )<\infty } 的博雷爾可測函數 ρ : D → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \rho :D\to [0,\infty ]} 。若 Γ {\displaystyle \Gamma } 包含了不可求長曲線，將 Γ {\displaystyle \Gamma } 中可求長曲線的子集記為 Γ 0 {\displaystyle \Gamma _{0}} ，則 E L ( Γ ) {\displaystyle EL(\Gamma )} 定義為 E L ( Γ 0 ) {\displaystyle EL(\Gamma _{0})} 。
Γ {\displaystyle \Gamma } 的模是 1 / E L ( Γ ) {\displaystyle 1/EL(\Gamma )} 。
D ¯ {\displaystyle {\overline {D}}} 中的兩個集合在 D {\displaystyle D} 中的極值距離，是在 D {\displaystyle D} 中兩個端點分別在這兩個集合的曲線族的極值長度。
是複平面中的開集。設
是在 中的可求長曲線族。![{\displaystyle \rho :D\to [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87fe0b710a5d0908fbeb28b2b098a993a39a5e64)
是博雷爾可測函數。對任意可求長曲線
，設
的
長度，其中
表示歐氏線元。（可能有
。）又設
的面積定義為
的極值長度定義為
的博雷爾可測函數 。若 包含了不可求長曲線，將 中可求長曲線的子集記為
，則
定義為
。
的模是
。
中的兩個集合在 中的極值距離，是在 中兩個端點分別在這兩個集合的曲線族的極值長度。
