数学上，共形和拟共形映射的理论中，一个曲线族 Γ {\displaystyle \Gamma } 的极值长度是 Γ {\displaystyle \Gamma } 的一个共形不变量。确切来说，设 D {\displaystyle D} 是复平面中的开集， Γ {\displaystyle \Gamma } 是 D {\displaystyle D} 中的路径族， f : D → D ′ {\displaystyle f:D\to D'} 是一个共形映射。那么 Γ {\displaystyle \Gamma } 的极值长度等于 Γ {\displaystyle \Gamma } 在 f {\displaystyle f} 下的像的极值长度。因此极值长度是研究共形映射的有用工具。
设 D {\displaystyle D} 是复平面中的开集。设 Γ {\displaystyle \Gamma } 是在 D {\displaystyle D} 中的可求长曲线族。 ρ : D → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \rho :D\to [0,\infty ]} 是博雷尔可测函数。对任意可求长曲线 γ {\displaystyle \gamma } ，设
表示 γ {\displaystyle \gamma } 的 ρ {\displaystyle \rho } 长度，其中 | d z | {\displaystyle |dz|} 表示欧氏线元。（可能有 L ρ ( γ ) = ∞ {\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\infty } 。）又设
ρ {\displaystyle \rho } 的面积定义为
而 Γ {\displaystyle \Gamma } 的极值长度定义为
其中最小上界是取自所有满足 0 < A ( ρ ) < ∞ {\displaystyle 0<A(\rho )<\infty } 的博雷尔可测函数 ρ : D → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \rho :D\to [0,\infty ]} 。若 Γ {\displaystyle \Gamma } 包含了不可求长曲线，将 Γ {\displaystyle \Gamma } 中可求长曲线的子集记为 Γ 0 {\displaystyle \Gamma _{0}} ，则 E L ( Γ ) {\displaystyle EL(\Gamma )} 定义为 E L ( Γ 0 ) {\displaystyle EL(\Gamma _{0})} 。
Γ {\displaystyle \Gamma } 的模是 1 / E L ( Γ ) {\displaystyle 1/EL(\Gamma )} 。
D ¯ {\displaystyle {\overline {D}}} 中的两个集合在 D {\displaystyle D} 中的极值距离，是在 D {\displaystyle D} 中两个端点分别在这两个集合的曲线族的极值长度。
是复平面中的开集。设
是在 中的可求长曲线族。![{\displaystyle \rho :D\to [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87fe0b710a5d0908fbeb28b2b098a993a39a5e64)
是博雷尔可测函数。对任意可求长曲线
，设
的
长度，其中
表示欧氏线元。（可能有
。）又设
的面积定义为
的极值长度定义为
的博雷尔可测函数 。若 包含了不可求长曲线，将 中可求长曲线的子集记为
，则
定义为
。
的模是
。
中的两个集合在 中的极值距离，是在 中两个端点分别在这两个集合的曲线族的极值长度。
