數學上,共形擬共形映射的理論中,一個曲線極值長度的一個共形不變量。確切來說,設 複平面中的開集,中的路徑族,是一個共形映射。那麼的極值長度等於 下的的極值長度。因此極值長度是研究共形映射的有用工具。

極值長度的定義

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 複平面中的開集。設 是在 中的可求長曲線族。 博雷爾可測函數。對任意可求長曲線 ,設

 

表示  長度,其中 表示歐氏線元。(可能有 。)又設

 

 面積定義為

 

 極值長度定義為

 

其中最小上界是取自所有滿足 的博雷爾可測函數 。若 包含了不可求長曲線,將 中可求長曲線的子集記為  ,則  定義為 

  

 中的兩個集合在 中的極值距離,是在 中兩個端點分別在這兩個集合的曲線族的極值長度。

參考

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