立方體堆砌
提示：此條目頁的主題不是立方體堆疊。立方體堆砌（Cubic Honeycomb）[2]是三維空間內唯一的正密鋪，也是28個半正密鋪之一，由立方體堆砌而成，其縮寫為chon[3]。它亦可被看作是四維空間中由無窮多個立方體胞組成的二胞角為180°的四維正無窮胞體，因此在許多情況下它被算作是四維的多胞體。
| 立方體堆砌 立方蜂巢體 | |
|---|---|
 | |
 線架圖 | |
| 類型 | 正堆砌 |
| 家族 | 立方形堆砌 |
| 維度 | 3 |
| 對偶多胞形 | 立方體堆砌（自身對偶） |
| 類比 | 正方形鑲嵌 |
| 識別 | |
| 名稱 | 立方體堆砌 |
| 參考索引[1] | J11,15, A1 W1, G22 |
| 鮑爾斯縮寫 | chon |
| 數學表示法 | |
| 考克斯特符號 |     |
| 考克斯特記號 | [4,3,4] |
| 纖維流形記號 | 4−:2 |
| 施萊夫利符號 | {4,3,4} |
| 性質 | |
| 胞 | {4,3}  棱處相交胞：4×{4,3} 頂點處相交胞：8×{4,3} |
| 面 | {4}  棱處相交面：4×{4} 頂點處相交面：12×{4} |
| 邊 | ∞ 頂點處相交棱：6 |
| 歐拉示性數 | 0 |
| 組成與佈局 | |
| 頂點圖 |  （正八面體） |
| 對稱性 | |
| 對稱群 | |
| 空間群 | Pm3m |
| 考克斯特群 | , [4,3,4] |
| 特性 | |
| 頂點正 | |
立方形家族裡的多胞形二胞角總是90°，因此總能獨自完成超平面密鋪，這些密鋪又構成了另一家族「立方形堆砌」，具有對稱性，有施萊夫利符號形式{4,3,……,3,4}。
性質
編輯立方體堆砌由立方體填滿空間組成，每個頂點都是8個立方體的公共頂點、每條稜都是4個立方體的公共稜。
頂點坐標
編輯
立方體堆砌頂點的笛卡爾坐標為：
因此邊長為1立方體堆砌也可以視為空間中的座標網格。
由於立方體堆砌是一個自身對偶多胞形，因此其幾何中心位置同樣可以構成另一個立方體堆砌，因此其幾何中心座標也同樣滿足上述式子，而i,j,k值則為相鄰立方體幾何中心距離的整數倍。
正交投影
編輯| 對稱性 | p6m (*632) | p4m (*442) | pmm (*2222) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 實體圖 | 
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| ||
| 框線圖 | 
|
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| ||
相關堆砌
編輯立方體堆砌是平面正方形鑲嵌{4,4}在三維空間的類比，他們的形式皆為{4,3,...,3,4}，為立方形堆砌家族的一部份，在這個系列的鑲嵌都是自身對偶。他也是28種由凸均勻多面體組成的均勻鑲嵌之一。
自然界中的立方體堆砌
編輯
作為少有的三維半正堆砌，自然界中許多晶體都具有類似立方體堆砌的晶體結構，在固體物理學中被稱為「立方晶系」，許多固體化合物，如氯化鈉、硫化鋅、氯化亞銅、螢石、三氧化錸和金屬單質，如鋁、釩、鋰等，都具有這種晶系的結構。
簡單立方晶格
編輯簡單立方晶格可以被扭曲成較低的對稱性，通過較低的晶系代表：
| 晶系 | 單斜 三斜 |
正交 | 四方 | 三方 | 立方 |
|---|---|---|---|---|---|
| 胞 單位晶格 |
平行六面體 | 長方體 | 三方 偏方面體 |
正方體 | |
| 點群 階 旋轉對稱群 |
[ ], (*) Order 2 [ ]+, (1) |
[2,2], (*222) Order 8 [2,2]+, (222) |
[4,2], (*422) Order 16 [4,2]+, (422) |
[3], (*33) Order 6 [3]+, (33) |
[4,3], (*432) Order 48 [4,3]+, (432) |
| 圖示 | 
|
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|
| 空間群 旋轉對稱群 |
Pm (6) P1 (1) |
Pmmm (47) P222 (16) |
P4/mmm (123) P422 (89) |
R3m (160) R3 (146) |
Pm3m (221) P432 (207) |
| 考克斯特式 | - | [∞]a×[∞]b×[∞]c | [4,4]a×[∞]c | - | [4,3,4]a |
| 考克斯特符號 | - |  
|
|
- |
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表面著色
編輯作為立方形堆砌家族其中一員，立方體堆砌有 對稱性，有施萊夫利符號{4,3,4}，考克斯特符號 ，除此之外，作為一個空間堆砌，它有Pm3m空間平移對稱性。
而然，立方體堆砌亦可以被看作是許多具有不同對稱性的半正堆砌，它們所對應的對稱性、施萊夫利符號、考克斯特符號見下表：
| 名稱 | 考克斯特標記 空間群 |
考克斯特—迪肯符號 | 施萊夫利符號 | 有限部 分圖像 |
顏色組合 （字母表示） |
|---|---|---|---|---|---|
| 立方體堆砌 | [4,3,4] Pm3m |
|
{4,3,4} | 1: aaaa/aaaa | |
| 三次截半半 立方體堆砌 |
[4,31,1] Fm3m |
 
|
{4,31,1} | 2: abba/baab | |
| 截面立方體 堆砌 |
[4,3,4] Pm3m |
|
t0,3{4,3,4} | 4: abbc/bccd | |
| [[4,3,4]] Pm3m (229) |
  
|
t0,3{4,3,4} | 4: abbb/bbba | ||
| 正四稜柱 堆砌 |
[4,3,4,2,∞] |
|
{4,4}×t{∞} | 2: aaaa/bbbb | |
| 截棱正四稜柱 堆砌 |
[4,3,4,2,∞] |
|
t1{4,4}×{∞} | 2: abba/abba | |
| 無窮次無窮次 無窮邊形 |
[∞,2,∞,2,∞] |
|
t{∞}×t{∞}×{∞} | 4: abcd/abcd | |
| 無窮次無窮次 無窮邊形 |
[∞,2,∞,2,∞] |
|
t{∞}×t{∞}×t{∞} | 8: abcd/efgh |
相關多面體和鑲嵌
編輯立方體堆砌與四維超正方體施萊夫利符號{4,3,3}相似，但超正方體只存在四維空間，且每個邊的周為只有三個正方體而立方體堆砌有四個。此外，也可以有每個邊的周為有五個正方體，他稱為五階立方體堆砌，存在於雙曲空間，施萊夫利符號為{4,3,5}。
| 空間 | S3 | E3 | H3 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 來源 | 有限 | 仿射 | 緊湊 | 仿緊 | 非緊 | ||
| 施式 | {3,3,4}
|
{4,3,4}  
|
{5,3,4} 
|
{6,3,4}    
|
{7,3,4} 
|
{8,3,4} 
|
... {∞,3,4}
|
| 圖像 | 
|
|
|
|
|||
| 胞 |  {3,3}
|
{4,3}
|
 {5,3}
|
 {6,3}
|
 {7,3}
|
 {8,3}
|
 {∞,3}
|
考克斯特群[4,3,4]、 產生15個排列均勻的鑲嵌中，9個具有獨特的的幾何形狀，包括交替立方體堆砌、擴展立方堆砌是幾何上相同的立方體堆砌。
| 空間群 | 纖維流形 | 擴展 對稱群 |
擴展 標記 |
階 | 蜂巢體 （堆砌） |
|---|---|---|---|---|---|
| Pm3m (221) |
4−:2 | [4,3,4] |    
|
×1 | 1, 2, 3, 4, 5, 6
|
| Fm3m (225) |
2−:2 | [1+,4,3,4] ↔ [4,31,1] |
 ↔  
|
Half | 7, 11, 12, 13
|
| I43m (217) |
4o:2 | [[(4,3,4,2+)]] | 
|
Half × 2 | (7),
|
| Fd3m (227) |
2+:2 | [[1+,4,3,4,1+]] ↔ [[3[4]]] |
 ↔ 
|
Quarter × 2 | 10,
|
| Im3m (229) |
8o:2 | [[4,3,4]] |  
|
×2 |
考克斯特群[4,31,1], , 考克斯特群產生 9個排列均勻的鑲嵌中，其中4個具有獨特的的幾何形狀，包括交替立方體堆砌。
| 空間群 | 纖維流形 | 擴展 對稱群 |
擴展 標記 |
階 | 蜂巢體 （堆砌） |
|---|---|---|---|---|---|
| Fm3m (225) |
2−:2 | [4,31,1] ↔ [4,3,4,1+] |
 ↔
|
×1 | 1, 2, 3, 4
|
| Fm3m (225) |
2−:2 | <[1+,4,31,1]> ↔ <[3[4]]> |
↔
|
×2 | (1), (3)
|
| Pm3m (221) |
4−:2 | <[4,31,1]> |
|
×2 |
立方體堆砌是 考克斯特群中的五個結構特別的均勻堆砌[4]之一，其對稱性可以乘以環在考克斯特-迪肯符號的對稱性：
| 空間群 | 纖維流形 | 方形 對稱群 |
擴展 對稱群 |
擴展 標記 |
擴展 階 |
蜂巢體 （堆砌） |
|---|---|---|---|---|---|---|
| F43m (216) |
1o:2 | a1 | [3[4]] |
|
×1 | (None) |
| Fd3m (227) |
2+:2 | p2 | [[3[4]]] | ↔
|
×2 | 3
|
| Fm3m (225) |
2−:2 | d2 | <[3[4]]> ↔ [4,3,31,1] |
 ↔
|
×2 |  1, 2
|
| Pm3m (221) |
4−:2 | d4 | [2[3[4]]] ↔ [4,3,4] |
 ↔
|
×4 | 4
|
| Im3m (229) |
8o:2 | r8 | [4[3[4]]] ↔ [[4,3,4]] |
 ↔
|
×8 | 5,  (*)
|
參考
編輯- ^ For cross-referencing, they are given with list indices from Andreini (1-22), Williams(1-2,9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65), and Grünbaum(1-28).
- ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
- ^ Klitzing, Richard. chon. bendwavy.org. [2014-04-27].
- ^ [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, A000029 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 6-1 cases, skipping one with zero marks
- H.S.M.考克斯特 Regular Polytopes, (第三版, 1973), Dover參與編輯, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II:正堆砌
- George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) （包含11個凸半正鑲嵌、28個凸半正堆砌、和143個凸半正四維砌的全表）
- Branko Grünbaum, 三維正鑲嵌. Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
- Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication參與編輯, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
- (22頁) H.S.M.考克斯特, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 半正空間鑲嵌)
- A. Andreini, Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (On the regular and semiregular nets of polyhedra and on the corresponding correlative nets), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
- Klitzing, Richard. 3D Euclidean Honeycombs x4o3o4o - chon - O1. bendwavy.org.
- Uniform Honeycombs in 3-Space: 01-Chon （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）