線性非時變系統理論 俗稱LTI 系統理論應用數學 ，有在核磁共振頻譜學 、地震學 、電路 、信號處理 和控制理論 等技術領域的直接運用。該理論研究的是線性 的非時變系統
LTI 系統通常僅關注系統在時間軸上的行為，但是類似的理論也可以擴展到空間維度。例如應用到圖像處理 和場論 時，系統的輸入也可在空間維度上變化。如果系統具有類似LTI 的行為，則這類系統也被稱為線性平移不變系統 。在離散（即採樣）系統中，對應的術語是線性時平移不變系統 。由電阻、電容、電感組成的電路是LTI系統的一個常見例子。[ 1]
顧名思義，線性非時變系統必須同時滿足線性 和非時變性 ：
線性 ，指系統的輸入和輸出之間的關係是一個線性映射 ：如果輸入
x
1
(
t
)
{\displaystyle x_{1}(t)\,}
y
1
(
t
)
{\displaystyle y_{1}(t)\,}
x
2
(
t
)
{\displaystyle x_{2}(t)\,}
y
2
(
t
)
{\displaystyle y_{2}(t)\,}
放縮 和加和 輸入
a
1
x
1
(
t
)
+
a
2
x
2
(
t
)
{\displaystyle a_{1}x_{1}(t)+a_{2}x_{2}(t)\,}
a
1
y
1
(
t
)
+
a
2
y
2
(
t
)
{\displaystyle a_{1}y_{1}(t)+a_{2}y_{2}(t)\,}
a
1
{\displaystyle a_{1}}
a
2
{\displaystyle a_{2}}
實 標量 。此性質可以拓展到任意項，於是對於實數
c
1
,
c
2
,
…
,
c
k
{\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{k}}
輸入
∑
k
c
k
x
k
(
t
)
{\displaystyle \sum _{k}c_{k}\,x_{k}(t)}
∑
k
c
k
y
k
(
t
)
.
{\displaystyle \sum _{k}c_{k}\,y_{k}(t).\,}
特別地， 輸入
∫
−
∞
∞
c
ω
x
ω
(
t
)
d
ω
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }c_{\omega }\,x_{\omega }(t)\,\operatorname {d} \omega }
∫
−
∞
∞
c
ω
y
ω
(
t
)
d
ω
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }c_{\omega }\,y_{\omega }(t)\,\operatorname {d} \omega \,}
Eq.1
其中，
c
ω
{\displaystyle c_{\omega }}
x
ω
{\displaystyle x_{\omega }}
ω
{\displaystyle \omega }
連續統 內變化。因此，如果輸入函數可以由一個連續統的輸入函數像上面展示的那樣，「線性」組合而成，則對應的輸出函數，可以通過相應連續統的輸出函數以相同的方式縮放 和求和 得到。 時不變性 ，指如果將系統的輸入信號延遲
τ
{\displaystyle \tau }
τ
{\displaystyle \tau }
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
y
(
t
)
{\displaystyle y(t)}
x
(
t
+
τ
)
{\displaystyle x(t+\tau )}
y
(
t
+
τ
)
{\displaystyle y(t+\tau )}
LTI系統的理論的基本結論是任何LTI系統都可以完全用一個單一方程來表示，該方程稱為系統的衝激響應 。系統的輸出可以簡單表示為輸入信號與系統的衝激響應的卷積 。這種分析方法通常稱為時域
時域和頻域之間的關係 同理，任何LTI系統的特徵可由頻域 的系統傳遞函數 刻畫，它是系統衝激響應的拉普拉斯變換 （在離散時間系統的情況下為Z變換）。由於這些變換的性質，該系統在頻域的輸出是傳遞函數與輸入的變換的乘積。換句話說，時域中的卷積相當於頻域中的乘法。
對於所有的LTI系統中，本徵函數 和所用變換的基函數，是復 指數函數 。這即是說，如果一個系統的輸入是復波形
A
e
s
t
{\displaystyle Ae^{st}}
A
{\displaystyle A}
s
{\displaystyle s}
B
{\displaystyle B}
B
e
s
t
{\displaystyle Be^{st}}
B
/
A
{\displaystyle B/A}
s
{\displaystyle s}
因為是正弦 的復指數與復共軛頻率的總和，如果輸入到該系統是一個正弦波，則系統的輸出也將是一個正弦波。輸出的正弦波可以具有不同振幅 和不同相位 ，但是輸出的穩態頻率一定與輸入相同。LTI系統不能產生頻率成分中沒有的輸入。
LTI系統理論適用於描述許多重要的系統。相對於時間變化的和/或非線性的系統，LTI系統通常是「容易」分析的。任何可以被模擬為常係數線性齊次微分方程 系統都是LTI系統。由電阻器 ，電感 和電容器 組成的電路 （RLC電路）是這類系統的一個常見實例。理想的彈簧 - 質量 - 阻尼系統也是LTI系統，並且在數學上與某個RLC電路等效。
LTI系統概念都是連續時間和離散時間（線性移位不變）的情況下相似。在圖像處理中，時間變量被替換為2空間變量，時間不變性的概念被替換為二維移不變性。當分析濾波器組s和MIMO系統中，常常是有用考慮的信號矢量 。
線性系統不是時不變可以用其他方法來解決，如格林函數 方法。同樣的方法時，必須使用問題的初始條件是不為空。
輸入信號為x(t)，輸出信號為y(t)的線性時不變系統的行為可以用卷積積分描述：[ 2]
y
(
t
)
=
x
(
t
)
∗
h
(
t
)
{\displaystyle y(t)=x(t)*h(t)\,}
=
d
e
f
∫
−
∞
∞
x
(
t
−
τ
)
⋅
h
(
τ
)
d
τ
{\displaystyle {}\quad {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\operatorname {d} \tau }
=
∫
−
∞
∞
x
(
τ
)
⋅
h
(
t
−
τ
)
d
τ
,
{\displaystyle {}\quad =\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\operatorname {d} \tau ,}
交換律 ）
其中
h
(
t
)
{\displaystyle \textstyle h(t)}
x
(
τ
)
=
δ
(
τ
)
{\displaystyle \textstyle x(\tau )=\delta (\tau )}
衝激 響應。因此
y
(
t
)
{\displaystyle \textstyle y(t)}
x
(
τ
)
{\displaystyle \textstyle x(\tau )}
h
(
−
τ
)
{\displaystyle \textstyle h(-\tau )}
t
{\displaystyle \textstyle t}
t
{\displaystyle \textstyle t}
τ
{\displaystyle \textstyle \tau }
h
(
τ
)
{\displaystyle \textstyle h(\tau )}
y
(
t
)
{\displaystyle \textstyle y(t)}
t
{\displaystyle \textstyle t}
x
{\displaystyle \textstyle x}
因果系統 。
要理解為何LTI系統的輸出可以用卷積產生，就令記號
{
x
(
u
−
τ
)
;
u
}
{\displaystyle \textstyle \{x(u-\tau );\ u\}}
u
{\displaystyle \textstyle u}
τ
{\displaystyle \textstyle \tau }
x
(
u
−
τ
)
{\displaystyle \textstyle x(u-\tau )}
{
x
}
{\displaystyle \textstyle \{x\}\,}
{
x
(
u
)
;
u
}
{\displaystyle \textstyle \{x(u);\ u\}}
{
x
}
,
{\displaystyle \textstyle \{x\},}
{
y
}
{\displaystyle \textstyle \{y\}}
y
(
t
)
=
def
O
t
{
x
}
,
{\displaystyle y(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t}\{x\},}
其中
O
t
{\displaystyle \textstyle O_{t}}
t
{\displaystyle \textstyle t}
y
(
t
)
{\displaystyle \textstyle y(t)}
t
{\displaystyle \textstyle t}
x
{\displaystyle \textstyle x}
t
{\displaystyle \textstyle t}
對一個線性系統，
O
{\displaystyle \textstyle O}
Eq.1
O
t
{
∫
−
∞
∞
c
τ
x
τ
(
u
)
d
τ
;
u
}
=
∫
−
∞
∞
c
τ
y
τ
(
t
)
⏟
O
t
{
x
τ
}
d
τ
.
{\displaystyle O_{t}\left\{\int _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ x_{\tau }(u)\,\operatorname {d} \tau ;\ u\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ \underbrace {y_{\tau }(t)} _{O_{t}\{x_{\tau }\}}\,\operatorname {d} \tau .\,}
Eq.2
而時不變系統的要求是：
O
t
{
x
(
u
−
τ
)
;
u
}
=
y
(
t
−
τ
)
=
def
O
t
−
τ
{
x
}
.
{\displaystyle {\begin{aligned}O_{t}\{x(u-\tau );\ u\}\ &{\stackrel {\quad }{=}}\ y(t-\tau )\\&{\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t-\tau }\{x\}.\,\end{aligned}}}
Eq.3
在這種記號下，我們可以把衝激響應 寫成
h
(
t
)
=
def
O
t
{
δ
(
u
)
;
u
}
{\displaystyle \textstyle h(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t}\{\delta (u);\ u\}}
同樣：
h
(
t
−
τ
)
{\displaystyle h(t-\tau )\,}
=
def
O
t
−
τ
{
δ
(
u
)
;
u
}
{\displaystyle {}{\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t-\tau }\{\delta (u);\ u\}}
=
O
t
{
δ
(
u
−
τ
)
;
u
}
.
{\displaystyle {}=O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}.\,}
Eq.3
將此結果代入卷積積分：
x
(
t
)
∗
h
(
t
)
=
∫
−
∞
∞
x
(
τ
)
⋅
h
(
t
−
τ
)
d
τ
=
∫
−
∞
∞
x
(
τ
)
⋅
O
t
{
δ
(
u
−
τ
)
;
u
}
d
τ
,
{\displaystyle {\begin{aligned}x(t)*h(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\operatorname {d} \tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}\,\operatorname {d} \tau ,\,\end{aligned}}}
該形式為
c
τ
=
x
(
τ
)
{\displaystyle \textstyle c_{\tau }=x(\tau )}
x
τ
(
u
)
=
δ
(
u
−
τ
)
{\displaystyle \textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau )}
Eq.2 Eq.2
x
(
t
)
∗
h
(
t
)
=
O
t
{
∫
−
∞
∞
x
(
τ
)
⋅
δ
(
u
−
τ
)
d
τ
;
u
}
=
O
t
{
x
(
u
)
;
u
}
=
def
y
(
t
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x(t)*h(t)&=O_{t}\left\{\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot \delta (u-\tau )\,\operatorname {d} \tau ;\ u\right\}\\&=O_{t}\left\{x(u);\ u\right\}\\&\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ y(t).\,\end{aligned}}}
綜上所述，輸入函數
{
x
}
{\displaystyle \textstyle \{x\}}
Eq.1 響應 的連續統來表示系統的響應。而時不變特性允許用卷積積分來表示這種組合。
上述數學運算可以用一個簡單的圖形模擬。[ 3]
本徵函數 是算子輸出為經過放縮的相同函數的函數。即，
H
f
=
λ
f
{\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f}
其中f 是本徵函數而
λ
{\displaystyle \lambda }
特徵值 （一個常數）。
指數函數
A
e
s
t
{\displaystyle Ae^{st}}
A
,
s
∈
C
{\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }
線性 時不變 算子的本徵函數 。可以用一個簡單的證明來說明這個概念。假設輸入是
x
(
t
)
=
A
e
s
t
{\displaystyle x(t)=Ae^{st}}
h
(
t
)
{\displaystyle h(t)}
∫
−
∞
∞
h
(
t
−
τ
)
A
e
s
τ
d
τ
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\operatorname {d} \tau }
由卷積 的交換性質，上式等價於
∫
−
∞
∞
h
(
τ
)
A
e
s
(
t
−
τ
)
d
τ
⏞
H
f
=
∫
−
∞
∞
h
(
τ
)
A
e
s
t
e
−
s
τ
d
τ
=
A
e
s
t
∫
−
∞
∞
h
(
τ
)
e
−
s
τ
d
τ
=
A
e
s
t
⏟
Input
⏞
f
H
(
s
)
⏟
Scalar
⏞
λ
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{s(t-\tau )}\,\operatorname {d} \tau } ^{{\mathcal {H}}f}&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\operatorname {d} \tau &=Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\operatorname {d} \tau \\&=\overbrace {\underbrace {Ae^{st}} _{\text{Input}}} ^{f}\overbrace {\underbrace {H(s)} _{\text{Scalar}}} ^{\lambda },\end{aligned}}}
其中標量
H
(
s
)
=
def
∫
−
∞
∞
h
(
t
)
e
−
s
t
d
t
{\displaystyle H(s)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\operatorname {d} t}
只與參數s 有關。
因此，系統的響應是一個縮放的輸入。特別地，對任意I
A
,
s
∈
C
{\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }
A
e
s
t
{\displaystyle Ae^{st}}
H
(
s
)
{\displaystyle H(s)}
A
e
s
t
{\displaystyle Ae^{st}}
本徵函數 ，對應的特徵向量 為
H
(
s
)
{\displaystyle H(s)}
也可以用復指數直接導出LTI系統的本徵函數。
我們令
v
(
t
)
=
e
i
ω
t
{\displaystyle v(t)=e^{i\omega t}}
v
a
(
t
)
=
e
i
ω
(
t
+
a
)
{\displaystyle v_{a}(t)=e^{i\omega (t+a)}}
對常數
e
i
ω
a
{\displaystyle e^{i\omega a}}
H
[
v
a
]
(
t
)
=
e
i
ω
a
H
[
v
]
(
t
)
{\displaystyle H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)}
由
H
{\displaystyle H}
H
[
v
a
]
(
t
)
=
H
[
v
]
(
t
+
a
)
{\displaystyle H[v_{a}](t)=H[v](t+a)}
所以
H
[
v
]
(
t
+
a
)
=
e
i
ω
a
H
[
v
]
(
t
)
{\displaystyle H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)}
t
=
0
{\displaystyle t=0}
H
[
v
]
(
τ
)
=
e
i
ω
τ
H
[
v
]
(
0
)
{\displaystyle H[v](\tau )=e^{i\omega \tau }H[v](0)}
即復指數
e
i
ω
τ
{\displaystyle e^{i\omega \tau }}
本徵函數的指數函數性質對分析和了解LTI系統都是很有用處的。拉普拉斯變換
H
(
s
)
=
def
L
{
h
(
t
)
}
=
def
∫
−
∞
∞
h
(
t
)
e
−
s
t
d
t
{\displaystyle H(s)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\mathcal {L}}\{h(t)\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\operatorname {d} t}
就是從衝激響應得到特徵值的方法。純正弦（即形式為
e
j
ω
t
{\displaystyle e^{j\omega t}}
ω
∈
R
{\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }
j
=
def
−
1
{\displaystyle j\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\sqrt {-1}}}
傅里葉變換
H
(
j
ω
)
=
F
{
h
(
t
)
}
{\displaystyle H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}}
H
(
s
)
{\displaystyle H(s)}
H
(
j
ω
)
{\displaystyle H(j\omega )}
系統函數 、系統響應 或傳遞函數 。
拉普拉斯變換通常用於單邊信號的背景下，即t 小於某個值時信號的所有值為零。通常，「起始時間」設置為零，為方便起見，不失一般性，變換都從零到無窮積分（上述變換的下限為負無窮的積分稱作雙邊拉普拉斯變換 ）。
傅里葉變換是用來分析系統處理無窮限信號的，如調製的正弦信號，即使它不能直接應用在非平方可積 維納－辛欽定理 用在無窮信號光譜上，即使在信號的傅里葉變換不存在的時候。
由於這兩種變換的卷積性質，在變換存在的條件下，能夠給出系統輸出的卷積可以轉換為變換域的乘積
y
(
t
)
=
(
h
∗
x
)
(
t
)
=
def
∫
−
∞
∞
h
(
t
−
τ
)
x
(
τ
)
d
τ
=
def
L
−
1
{
H
(
s
)
X
(
s
)
}
{\displaystyle y(t)=(h*x)(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\operatorname {d} \tau \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}}
計算變換、乘積和反變換不僅比原始的卷積容易，而且還能從系統響應了解系統的行為。可以觀察系統函數 |H (s )| 的模來看出輸入
exp
(
s
t
)
{\displaystyle \exp({st})}
通過 這個系統或被此系統拒絕 或削弱 （不通）。
一個線性時不變算子的簡單實例是導數 。
d
d
t
(
c
1
x
1
(
t
)
+
c
2
x
2
(
t
)
)
=
c
1
x
1
′
(
t
)
+
c
2
x
2
′
(
t
)
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\left(c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\right)=c_{1}x'_{1}(t)+c_{2}x'_{2}(t)}
d
d
t
x
(
t
−
τ
)
=
x
′
(
t
−
τ
)
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )}
取導數的拉普拉斯變換，得到一個簡單的與拉普拉斯變換變量s 的乘積。
L
{
d
d
t
x
(
t
)
}
=
s
X
(
s
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}x(t)\right\}=sX(s)}
導數的拉普拉斯變換如此簡單一定程度上說明了拉普拉斯變換的用途。
A
{
x
(
t
)
}
=
def
∫
t
−
a
t
+
a
x
(
λ
)
d
λ
{\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{t-a}^{t+a}x(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda }
因為積分是線性的所以它也是線性的
A
{
c
1
x
1
(
t
)
+
c
2
x
2
(
t
)
}
=
∫
t
−
a
t
+
a
(
c
1
x
1
(
λ
)
+
c
2
x
2
(
λ
)
)
d
λ
=
c
1
∫
t
−
a
t
+
a
x
1
(
λ
)
d
λ
+
c
2
∫
t
−
a
t
+
a
x
2
(
λ
)
d
λ
=
c
1
A
{
x
1
(
t
)
}
+
c
2
A
{
x
2
(
t
)
}
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\right\}&=\int _{t-a}^{t+a}\left(c_{1}x_{1}(\lambda )+c_{2}x_{2}(\lambda )\right)\,\operatorname {d} \lambda \\&=c_{1}\int _{t-a}^{t+a}x_{1}(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda +c_{2}\int _{t-a}^{t+a}x_{2}(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda \\&=c_{1}{\mathcal {A}}\left\{x_{1}(t)\right\}+c_{2}{\mathcal {A}}\left\{x_{2}(t)\right\},\end{aligned}}}
此外，它也是時不變的
A
{
x
(
t
−
τ
)
}
=
∫
t
−
a
t
+
a
x
(
λ
−
τ
)
d
λ
=
∫
(
t
−
τ
)
−
a
(
t
−
τ
)
+
a
x
(
ξ
)
d
ξ
=
A
{
x
}
(
t
−
τ
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x(t-\tau )\right\}&=\int _{t-a}^{t+a}x(\lambda -\tau )\,\operatorname {d} \lambda \\&=\int _{(t-\tau )-a}^{(t-\tau )+a}x(\xi )\,\operatorname {d} \xi \\&={\mathcal {A}}\{x\}(t-\tau ),\end{aligned}}}
實際上，
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
矩形脈衝函數
Π
(
t
)
{\displaystyle \Pi (t)}
A
{
x
(
t
)
}
=
∫
−
∞
∞
Π
(
λ
−
t
2
a
)
x
(
λ
)
d
λ
,
{\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }\Pi \left({\frac {\lambda -t}{2a}}\right)x(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda ,}
其中矩形脈衝函數是
Π
(
t
)
=
def
{
1
if
|
t
|
<
1
2
,
0
if
|
t
|
>
1
2
.
{\displaystyle \Pi (t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\begin{cases}1&{\text{if }}|t|<{\frac {1}{2}},\\0&{\text{if }}|t|>{\frac {1}{2}}.\end{cases}}}
因果性和穩定性是描述系統的兩個重要性質。如果獨立變量是時間，那麼因果性是必須的，但並不是所有系統的獨立變量都是時間。例如，一個處理靜止圖像的系統不需要具備因果性。非因果系統可以建立，並可以在許多情況下發揮作用。即使是非實數 系統也可以構建，並且在很多場合也是非常有用的。
如果系統輸出只與當前以及過去的輸入有關，那麼該系統就是因果系統。因果性的充分必要條件是
h
(
t
)
=
0
∀
t
<
0
,
{\displaystyle h(t)=0\quad \forall t<0,}
其中
h
(
t
)
{\displaystyle h(t)}
收斂域 之後才能確定該系統的因果性。
如果系統對每個有界輸入來說輸出都是有界的，那麼系統就是有界輸入有界輸出穩定的 （BIBO穩定），用數學方法表示就是如果每個輸入滿足
‖
x
(
t
)
‖
∞
<
∞
{\displaystyle \ \|x(t)\|_{\infty }<\infty }
就會導致輸出滿足
‖
y
(
t
)
‖
∞
<
∞
{\displaystyle \ \|y(t)\|_{\infty }<\infty }
（也就是說
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
最大絕對值
y
(
t
)
{\displaystyle y(t)}
h
(
t
)
{\displaystyle h(t)}
L1 中（其L1 範數有限）的：
‖
h
(
t
)
‖
1
=
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
|
d
t
<
∞
{\displaystyle \ \|h(t)\|_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }|h(t)|\,\operatorname {d} t<\infty }
在頻域中，收斂域 必須包含虛軸
s
=
j
ω
{\displaystyle s=j\omega }
作為一個例子，衝激響應等於Sinc函數 的理想低通濾波器 不是BIBO穩定的，因為Sinc函數不具有有限的L1 範數。因此，對於一些有界輸入，理想低通濾波器的輸出是無界的。特別地，若對
t
<
0
{\displaystyle t<0\,}
t
>
0
{\displaystyle t>0\,}
截止頻率 ，則在非過零時刻輸出是無界的。
幾乎所有的連續時間系統都能找到與之對應的離散時間系統。
在許多情況下，離散時間（DT）系統實際上是較大的連續時間（CT）系統的一部分。例如，數字錄音系統記錄模擬聲音、數字化、或許對數字信號進行處理、然後重放模擬信號。
正式場合下所研究的離散時間信號幾乎總是連續時間信號的均勻採樣。如果
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
模數轉換器 將把它轉換成離散時間信號
x
[
n
]
{\displaystyle x[n]}
x
[
n
]
=
x
(
n
T
)
{\displaystyle x[n]=x(nT)}
其中T 是採樣周期 。為了保證離散信號能夠忠實地表示輸入信號，非常重要的一點就是需要限制輸入信號的頻率範圍。根據採樣定理 ，離散時間信號所包括的最大頻率範圍是
1
/
(
2
T
)
{\displaystyle 1/(2T)}
混疊 信號。
我們從一個衝激響應是二維函數的時變系統開始來看看時不變這個條件是如何將系統降到一維的。例如，假設輸入信號是
x
[
n
]
{\displaystyle x[n]}
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
線性算子
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
h
[
n
1
,
n
2
]
where
n
1
,
n
2
∈
Z
{\displaystyle h[n_{1},n_{2}]{\mbox{ where }}n_{1},n_{2}\in \mathbb {Z} }
由於
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
x
[
n
]
{\displaystyle x[n]}
累加 和所表示的線性變換
y
[
n
1
]
=
∑
n
2
=
−
∞
∞
h
[
n
1
,
n
2
]
x
[
n
2
]
,
{\displaystyle y[n_{1}]=\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }h[n_{1},n_{2}]\,x[n_{2}],}
如果線性算子
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
時不變 的，那麼
h
[
n
1
,
n
2
]
=
h
[
n
1
+
m
,
n
2
+
m
]
∀
m
∈
Z
{\displaystyle h[n_{1},n_{2}]=h[n_{1}+m,n_{2}+m]\qquad \forall \,m\in \mathbb {Z} }
如果取
m
=
−
n
2
,
{\displaystyle m=-n_{2},\,}
那麼
h
[
n
1
,
n
2
]
=
h
[
n
1
−
n
2
,
0
]
.
{\displaystyle h[n_{1},n_{2}]=h[n_{1}-n_{2},0].\,}
為了簡化通常我們丟棄
h
[
n
1
,
n
2
]
{\displaystyle h[n_{1},n_{2}]}
卷積 和
y
[
n
1
]
=
∑
n
2
=
−
∞
∞
h
[
n
1
−
n
2
]
x
[
n
2
]
=
(
h
∗
x
)
[
n
1
]
{\displaystyle y[n_{1}]=\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }h[n_{1}-n_{2}]\,x[n_{2}]=(h*x)[n_{1}]}
這樣，卷積 和表示一個線性 時不變系統 在任意輸入函數上所起的作用，對於類似的有限維參數，參見輪換矩陣
如果我們給系統輸入一個離散δ函數 ，由於δ函數是一個理想的脈衝，所以系統的線性時不變變換就是衝激響應 。我們用下式表示：
(
h
∗
δ
)
[
n
]
=
∑
m
=
−
∞
∞
h
[
n
−
m
]
δ
[
m
]
=
h
[
n
]
,
{\displaystyle (h*\delta )[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,\delta [m]=h[n],}
（通過δ函數 的 sifting特性）。
注意
h
[
n
]
=
h
[
n
1
−
n
2
,
0
]
where
n
=
n
1
−
n
2
,
{\displaystyle h[n]=h[n_{1}-n_{2},0]\,\!{\mbox{ where }}n=n_{1}-n_{2},}
這樣
h
[
n
]
{\displaystyle h[n]}
這個衝激響應可以按照下面的方法用於得到任意 輸入信號的響應。再次應用
δ
[
n
]
{\displaystyle \delta [n]}
x
[
n
]
=
∑
m
=
−
∞
∞
x
[
m
]
δ
[
n
−
m
]
{\displaystyle x[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]\delta [n-m]}
輸入經過系統變換，
H
x
[
n
]
=
H
∑
m
=
−
∞
∞
x
[
m
]
δ
[
n
−
m
]
{\displaystyle {\mathcal {H}}x[n]={\mathcal {H}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]\delta [n-m]}
=
∑
m
=
−
∞
∞
H
x
[
m
]
δ
[
n
−
m
]
{\displaystyle \quad =\sum _{m=-\infty }^{\infty }{\mathcal {H}}x[m]\delta [n-m]}
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
=
∑
m
=
−
∞
∞
x
[
n
]
H
δ
[
n
−
m
]
{\displaystyle \quad =\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n]{\mathcal {H}}\delta [n-m]}
x
[
m
]
{\displaystyle x[m]}
n 中是常量並且
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
=
∑
m
=
−
∞
∞
x
[
m
]
h
[
n
−
m
]
{\displaystyle \quad =\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]h[n-m]}
h
[
n
]
{\displaystyle h[n]}
系統的所有信息都包含在衝激響應
h
[
n
]
{\displaystyle h[n]}
一個簡單的線性時不變算子的實例是延時算子
D
{
x
}
[
n
]
:=
x
[
n
−
1
]
{\displaystyle D\{x\}[n]:=x[n-1]}
D
(
c
1
x
1
[
n
]
+
c
2
x
2
[
n
]
)
=
c
1
x
1
[
n
−
1
]
+
c
2
x
2
[
n
−
1
]
=
c
1
D
x
1
[
n
]
+
c
2
D
x
2
[
n
]
,
{\displaystyle D\left(c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right)=c_{1}x_{1}[n-1]+c_{2}x_{2}[n-1]=c_{1}Dx_{1}[n]+c_{2}Dx_{2}[n],}
D
{
x
[
n
−
m
]
}
=
x
[
n
−
m
−
1
]
=
x
[
(
n
−
1
)
−
m
]
=
D
{
x
}
[
n
−
m
]
.
{\displaystyle D\{x[n-m]\}=x[n-m-1]=x[(n-1)-m]=D\{x\}[n-m].\,}
導數取Z變換，就變成一個簡單的與Z相乘：
Z
{
D
x
[
n
]
}
=
z
X
(
z
)
{\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{Dx[n]\right\}=zX(z)}
差分的Z變幻如此簡單也在一定程度上表明了Z變換的用途。
另外一個簡單的線性時不變算子是平均算子
A
{
x
[
n
]
}
=
∑
k
=
n
−
a
n
+
a
x
[
k
]
{\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x[n]\right\}=\sum _{k=n-a}^{n+a}x[k]}
由於和是線性的所以它也是線性的：
A
{
c
1
x
1
[
n
]
+
c
2
x
2
[
n
]
}
{\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right\}}
=
∑
k
=
n
−
a
n
+
a
(
c
1
x
1
[
k
]
+
c
2
x
2
[
k
]
)
{\displaystyle =\sum _{k=n-a}^{n+a}\left(c_{1}x_{1}[k]+c_{2}x_{2}[k]\right)}
=
c
1
∑
k
=
n
−
a
n
+
a
x
1
[
k
]
+
c
2
∑
k
=
n
−
a
n
+
a
x
2
[
k
]
{\displaystyle =c_{1}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{1}[k]+c_{2}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{2}[k]}
=
c
1
A
{
x
1
[
n
]
}
+
c
2
A
{
x
2
[
n
]
}
{\displaystyle =c_{1}{\mathcal {A}}\left\{x_{1}[n]\right\}+c_{2}{\mathcal {A}}\left\{x_{2}[n]\right\}}
它也是時不變的：
A
{
x
[
n
−
m
]
}
{\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x[n-m]\right\}}
=
∑
k
=
n
−
a
n
+
a
x
[
k
−
m
]
{\displaystyle =\sum _{k=n-a}^{n+a}x[k-m]}
=
∑
k
′
=
(
n
−
m
)
−
a
(
n
−
m
)
+
a
x
[
k
′
]
{\displaystyle =\sum _{k'=(n-m)-a}^{(n-m)+a}x[k']}
=
A
{
x
}
[
n
−
m
]
{\displaystyle ={\mathcal {A}}\left\{x\right\}[n-m]}
因果性和穩定性是系統的重要特性。與連續時間系統不同，我們可以實現非因果的離散時間系統。通過在系統中加入延時就很容易將非因果有限衝激響應 系統變成因果系統。甚至可以構建非因果的無限衝激響應 系統（參見Vaidyanathan and Chen, 1995）。我們也可以構建不穩定的系統，這種系統在很多場合都很有用，甚至也可以構建在很多情況下非常有用的non-real 系統。
如果系統的輸出只與當前以及過去的輸入有關，那麼系統就是因果系統。因果性的必要且充分條件是
h
[
n
]
=
0
∀
n
<
0
,
{\displaystyle h[n]=0\ \forall n<0,}
其中
h
[
n
]
{\displaystyle h[n]}
收斂域 確定，系統的因果性也就隨之確定。
如果離散系統每個有界的輸入，輸出都是有界的那麼系統就是有界輸入輸出穩定 （BIBO穩定）。用數學方法表示就是
|
|
x
[
n
]
|
|
∞
<
∞
{\displaystyle ||x[n]||_{\infty }<\infty }
並且
|
|
y
[
n
]
|
|
∞
<
∞
{\displaystyle ||y[n]||_{\infty }<\infty }
（也就是說
x
[
n
]
{\displaystyle x[n]}
y
[
n
]
{\displaystyle y[n]}
最大絕對值 都是有限的），那麼系統就是穩定的。必要且充分條件就是衝激響應
h
[
n
]
{\displaystyle h[n]}
|
|
h
[
n
]
|
|
1
=
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
|
<
∞
{\displaystyle ||h[n]||_{1}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<\infty }
在頻域中，收斂域 必須包含單位圓
|
z
|
=
1
{\displaystyle |z|=1}
^ Hespanha 2009, p. 78.
^ Crutchfield, p. 1. Welcome!
^ Crutchfield, p. 1. Exercises
=e^{i\omega a}H[v](t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/028bc8c112a60a2c038e1318c3984670ece6f3ff)
=H[v](t+a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83ef94c53fd62b051c30489848de02b7ca690fb)
=e^{i\omega a}H[v](t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f94f406bff0281e34cdae10b27c0e406fe1494)
=e^{i\omega \tau }H[v](0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/051d559b68e53a40841ddd44e6478d00a33d38a9)
![{\displaystyle x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864cbbefbdcb55af4d9390911de1bf70167c4a3d)
![{\displaystyle x[n]=x(nT)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf9d6e2763c5e892b633aaf8be4bf00618515188)
![{\displaystyle h[n_{1},n_{2}]{\mbox{ where }}n_{1},n_{2}\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5620cbd57fa6d914868c53a8d553a946142b5fd7)
![{\displaystyle y[n_{1}]=\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }h[n_{1},n_{2}]\,x[n_{2}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/013b13f33a0bcdb7516b4614356aa34b80e65066)
![{\displaystyle h[n_{1},n_{2}]=h[n_{1}+m,n_{2}+m]\qquad \forall \,m\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1449883b216af0e7d680bc3f0d61547335349cea)
![{\displaystyle h[n_{1},n_{2}]=h[n_{1}-n_{2},0].\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dbe2f0643e2c7ff62e7c2747f79449bbde1035e)
![{\displaystyle h[n_{1},n_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f01fcf71fee49bbfd5c8b09d8fd332d3953093f2)
![{\displaystyle y[n_{1}]=\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }h[n_{1}-n_{2}]\,x[n_{2}]=(h*x)[n_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69c4046fc063e2ed8e3a271d70e8ee7d7b6f6c0a)
![{\displaystyle (h*\delta )[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,\delta [m]=h[n],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb42605215c613eabfd589d402719ec579a9f92)
![{\displaystyle h[n]=h[n_{1}-n_{2},0]\,\!{\mbox{ where }}n=n_{1}-n_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f42a442bf25bc5b1824f374f2da6cb102d6e8ce)
![{\displaystyle h[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89981bbbb05ffd469eeadb828c18359965985e46)
![{\displaystyle \delta [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2a6caf535cb44fa3526b2f320330a805edfdfaa)
![{\displaystyle x[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]\delta [n-m]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73aedb93fdce086194c8e6e4b1903543489671cd)
![{\displaystyle {\mathcal {H}}x[n]={\mathcal {H}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]\delta [n-m]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea48edae01cda47d62e28387c1272866bcfaea5)
![{\displaystyle \quad =\sum _{m=-\infty }^{\infty }{\mathcal {H}}x[m]\delta [n-m]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9599d8227c8e0fd67d9c80725b06967b8e5cf8cc)
![{\displaystyle \quad =\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n]{\mathcal {H}}\delta [n-m]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0db38894a4c6c827d1a1fc009f8ec72d33adf5b9)
![{\displaystyle x[m]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2571c77d494efae134b6a5904b70d02c27b5e961)
![{\displaystyle \quad =\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]h[n-m]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8558fa35a320dd137012b23da9bb82e1d46b9f7)
![{\displaystyle D\{x\}[n]:=x[n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8369d780a65badf16501a33af833f1929144db06)
![{\displaystyle D\left(c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right)=c_{1}x_{1}[n-1]+c_{2}x_{2}[n-1]=c_{1}Dx_{1}[n]+c_{2}Dx_{2}[n],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7d336499c9fcbf00795f828189752786b90919)
![{\displaystyle D\{x[n-m]\}=x[n-m-1]=x[(n-1)-m]=D\{x\}[n-m].\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f0aaa5d68dbe7b141796c4f88e0c1ee55d5c9b)
![{\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{Dx[n]\right\}=zX(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44847e51d0d6e744c2bcfacb4863f9b1cd86eac8)
![{\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x[n]\right\}=\sum _{k=n-a}^{n+a}x[k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac6e9e168dbbd5639b081589021df34a104ff218)
![{\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52afd95713459f5e2b89dba46e806c47e7c81f93)
![{\displaystyle =\sum _{k=n-a}^{n+a}\left(c_{1}x_{1}[k]+c_{2}x_{2}[k]\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2c4f6665a56273a50508167d48578fa61d1d5cd)
![{\displaystyle =c_{1}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{1}[k]+c_{2}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{2}[k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff25cc40bd7fba2b1887242b106f127d13a9e0f)
![{\displaystyle =c_{1}{\mathcal {A}}\left\{x_{1}[n]\right\}+c_{2}{\mathcal {A}}\left\{x_{2}[n]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba11d85679c72e1163cd1e25a25d1edb97e500c6)
![{\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x[n-m]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f31f2c9d42a079acb3f61c5f0ef6f490305fdc51)
![{\displaystyle =\sum _{k=n-a}^{n+a}x[k-m]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/761f0ac5ac568192e8f759610066c3085add09b2)
![{\displaystyle =\sum _{k'=(n-m)-a}^{(n-m)+a}x[k']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2484b0e4bde9c4d939689499de1eb03140b549f7)
![{\displaystyle ={\mathcal {A}}\left\{x\right\}[n-m]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a723b80e23473e0d9078c9a919fac5eda81b917)
![{\displaystyle h[n]=0\ \forall n<0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55e598ad76163467d521d27fd36872677740d338)
![{\displaystyle ||x[n]||_{\infty }<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cf04a959f7b3c163fa5793f4049faf694d89643)
![{\displaystyle ||y[n]||_{\infty }<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead096cf9682e14783a8f0c91e849828288dfcb5)
![{\displaystyle y[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/305428e6d1fb59cd0163a7a96ace52292a262afa)
![{\displaystyle ||h[n]||_{1}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0636919f7ceaf76ebb2fac5d405f30c53bb7e258)
