以下假設 為有限群,全體 -模構成阿貝爾範疇,其間的態射 定義為滿足 的群同態 。由於此範疇等價於 -模範疇,故有充足的內射對象。
函子 是從 -模範疇映至阿貝爾群範疇的左正合函子。定義 為其導函子。根據導函子的一般理論,可知:
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- 長正合序列:若 為 -模的短正合序列,則導出相應的長正合序列
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在上述定義中,若固定一個域 ,並以 代替 ,得到的上同調群依然同構。
導出函子的定義來自內射分解,不便於具體計算。然而注意到 ,其中 被賦予平凡的 作用: ,故群上同調可以用Ext函子表達為
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另一方面, -模範疇中也有充足的射影對象,若取一 的射影分解 ,則有自然的同構 。最自然的分解是標準分解
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而 由 給出。
定義 ,其元素為形如 的函數,並滿足 ,稱之為齊次上鏈。根據 在 上的作用,這種 由它在形如 的元素上的取值確定。藉此,可將上鏈複形 描述為
- 的元素為 之函數。
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其中的元素稱為非齊次上鏈。
綜上所述,得到 。
較常用的上同調是 與 。從標準分解可導出以下的描述:
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準此要領,亦有
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將上述定義中的 -模 改成一般的群 (未必交換),並帶有 的作用 (稱之為 -群)。此時仍然可以定義第零個及第一個群上同調:
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須留意 並不是群,而是帶有一個指定元素的集合(來自 的單位元素),以下所謂的正合性,都應該在此意義下理解。
若 是 -群的短正合序列,則有長正合序列
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若 落在 的中心,此序列右端可再加一項 。
若 為群同態,則可將任一 -模透過 視為 -模,此運算導出上同調之間的映射
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此映射與群上同調的長正合序列相容。當 是 的子群而 是包含映射,導出的映射稱為限制映射,記為 Res。
由於我們假設 為有限群,必有 ,此時映射
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導出一個上限制映射 。
- 定理.
若 是平凡的 模(即 ),則 中的元素一一對應於 對 的中心擴張的等價類
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中心擴張意謂: 是群擴張,而且 落在 的中心內。
具體描述方法是:任取一映射 。 不一定是群同態,但存在函數 使得 。 及 刻劃了 的群結構。不難驗證 滿足 ,而 的選取對應於 ,所以 僅決定於唯一的一個中心擴張。反之,任一 都來自於某個中心擴張,證畢。
若 是 的正規子群,則有下述譜序列
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對於射影有限群,此式依然成立。
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