群上同调

在同调代数中，群上同调是一套研究群及其表示的代数工具。群上同调源于代数拓扑，在代数数论上也有重要应用；它是现代类域论的基本构件之一。

起源

群论中的指导思想之一，是研究群 $G$ 及其表示的关系。群 $G$ 的表示是 $G$-模的特例：一个 $G$-模是一个阿贝尔群 $M$ 配上 $G$ 在 $M$ 上的群作用 $G\to \mathrm {End} (M)$。等价的说法是：$M$ 是群环 $\mathbb {Z} [G]$ 上的模。通常将 $G$ 的作用写成乘法 $m\mapsto gm$。全体 $G$-模自然地构成一个阿贝尔范畴。

对给定的 $G$-模 $M$，最重要的子群之一是其 $G$-不变子群

$M^{G}=\lbrace x\in M:\forall g\in G\ gx=x\rbrace .$

若 $N\subset M$ 是一个 $G$-子模（即：是 $M$ 的子群，且在 $G$ 的作用下不变），则 $M/N$ 上赋有自然的 $G$-模结构，$N^{G}\subset M^{G}$，但是未必有 $(M/N)^{G}=M^{G}/N^{G}$。第一个群上同调群 $H^{1}(G,N)$ 可以设想为两者间差异的某种量度。一般而言，可以定义一族函子 $H^{n}(G,-)$，其间关系可以由长正合序列表示。

形式建构

以下假设 $G$ 为有限群，全体 $G$-模构成阿贝尔范畴，其间的态射 $\mathrm {Hom} _{G}(M,N)$ 定义为满足 $f(gx)=gf(x)$ 的群同态 $f:M\to N$。由于此范畴等价于 $\mathbb {Z} [G]$-模范畴，故有充足的内射对象。

函子 $M\to M^{G}$ 是从 $G$-模范畴映至阿贝尔群范畴的左正合函子。定义 $H^{n}(G,M)$ 为其导函子。根据导函子的一般理论，可知：

• $H^{0}(G,M)=M^{G}$
• 长正合序列：若 $0\to M'\to M\to M''\to 0$ 为 $G$-模的短正合序列，则导出相应的长正合序列

$\cdots \to H^{i-1}(G,M'')\to H^{i}(G,M')\to H^{i}(G,M)\to H^{i}(G,M'')\to H^{i+1}(M')\to H^{i+1}(M)\to \cdots$

在上述定义中，若固定一个域 $k$，并以 $k[G]$ 代替 $\mathbb {Z} [G]$，得到的上同调群依然同构。

标准分解

导出函子的定义来自内射分解，不便于具体计算。然而注意到 $M^{G}=\mathrm {Hom} _{G}(\mathbb {Z} ,M)$，其中 $\mathbb {Z}$ 被赋予平凡的 $G$ 作用：$gx=x$，故群上同调可以用Ext函子表达为

$H^{i}(G,M)=\mathrm {Ext} ^{i}(\mathbb {Z} ,M)$

另一方面，$G$-模范畴中也有充足的射影对象，若取一 $\mathbb {Z}$ 的射影分解 $0\leftarrow \mathbb {Z} \leftarrow P_{\bullet }$，则有自然的同构 $\mathrm {Ext} ^{i}(\mathbb {Z} ,M)\simeq H^{i}(\mathrm {Hom} (P_{\bullet },M))$。最自然的分解是标准分解

$L_{i}:=\sum _{(g_{0},\ldots ,g_{i})\in G}\mathbb {Z} (g_{0},\ldots ,g_{i})$

$g(g_{0},\ldots ,g_{i})=(gg_{0},\ldots ,gg_{i})$

$d(g_{0},\ldots ,g_{i})=\sum _{j=0}^{i}(g_{0},\ldots ,{\hat {g}}_{j},\ldots ,g_{i})$

而 $L_{0}\to \mathbb {Z}$ 由 $g_{0}\mapsto 1$ 给出。

定义 $K^{i}:=\mathrm {Hom} _{G}(L_{i},M)$，其元素为形如 $f:G^{i+1}\mapsto M$ 的函数，并满足 $f(gg_{0},\ldots ,gg_{i})=gf(g_{0},\ldots ,g_{i})$，称之为齐次上链。根据 $G$ 在 $L_{i}$ 上的作用，这种 $f$ 由它在形如 $(e,g_{1},g_{1}g_{2},\ldots ,g_{1}\ldots ,g_{i})$ 的元素上的取值确定。借此，可将上链复形 $K^{i}$ 描述为

• $K^{i}$ 的元素为 $G^{i}\to M$ 之函数。
• $(df)(g_{1},\ldots ,g_{i+1})=g_{1}f(g_{2},\ldots ,g_{i+1})+\sum _{j=1}^{i}(-1)^{j}f(g_{1},\ldots ,g_{j}g_{j+1},\ldots ,g_{i+1})+(-1)^{i+1}f(g_{1},\ldots ,g_{i})$

其中的元素称为非齐次上链。

综上所述，得到 $H^{i}(K^{\bullet })=H^{i}(G,M)$。

例子

较常用的上同调是 $H^{1}$ 与 $H^{2}$。从标准分解可导出以下的描述：

$H^{1}(G,M)={\dfrac {\{f:G\to M|\forall g,g',\;f(gg')=gf(g')+f(g)\}}{\{f:G\to M:\exists m\,\forall g,\;f(g)=gm-m\}}}$

准此要领，亦有

$H^{2}(G,M)={\dfrac {\{f:G^{2}\to M|gf(g',g'')-f(gg',g'')+f(g,g'g'')-f(g,g')=0\}}{\{f:G^{2}\to M:\exists h:G\to M,f(g,g')=gh(g')-h(gg')+h(g)\}}}$

群同调

上述理论有一对偶版本：对于任一 $G$-模 $M$，定义 $DM$ 为形如 $gm-m$ 的元素生成之子模。考虑从 $G$-模范畴映至阿贝尔群范畴的函子

$M\to M_{G}:=M/DM=\mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M$

这是一个右正合函子，其导出函子称为为群同调 $H_{n}(G,M)$。群同调可以藉Tor函子描述为

$H_{i}(G,M)\simeq \mathrm {Tor} _{i}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)$

对于有限群，群同调与群上同调可在塔特上同调群的理论下得到一贯的描述。

非阿贝尔群上同调

将上述定义中的 $G$-模 $M$ 改成一般的群 $A$（未必交换），并带有 $G$ 的作用 $a\mapsto g(a)$（称之为 $G$-群）。此时仍然可以定义第零个及第一个群上同调：

$H^{0}(G,A):=A^{G}=\{a\in A|\forall g\in G,\;g(a)=a\}$

$H^{1}(G,A):={\dfrac {\{a_{s}:G\to A|\forall s,t\in G,\;a_{st}=a_{s}s(a_{t})\}}{\{b_{s}:G\to A|\exists a,b_{s}=a^{-1}s(a)\}}}$

须留意 $H^{0}(G,A),H^{1}(G,A)$ 并不是群，而是带有一个指定元素的集合（来自 $A$ 的单位元），以下所谓的正合性，都应该在此意义下理解。

若 $1\to A\to B\to C\to 1$ 是 $G$-群的短正合序列，则有长正合序列

$1\to A^{G}\to B^{G}\to C^{G}\to H^{1}(G,A)\to H^{1}(G,B)\to H^{1}(G,C)$

若 $A$落在 $B$ 的中心，此序列右端可再加一项 $H^{1}(G,C)\to H^{2}(G,A)$。

性质

Res 与 Cor

若 $f:H\to G$ 为群同态，则可将任一 $G$-模透过 $f$ 视为 $H$-模，此运算导出上同调之间的映射

$H^{\bullet }(G,M)\to H^{\bullet }(H,M)$

此映射与群上同调的长正合序列相容。当 $H$ 是 $G$ 的子群而 $f$ 是包含映射，导出的映射称为限制映射，记为 Res。

由于我们假设 $G$ 为有限群，必有 $(G:H)<\infty$，此时映射

$N_{G/H}:M^{H}\to M^{G},\quad N_{G/H}(m):=\sum _{g\in G/H}gm$

导出一个上限制映射 $\mathrm {Cor} :H^{\bullet }(H,M)\to H^{\bullet }(G,M)$。

定理. $\mathrm {Cor} \circ \mathrm {Res} =(G:H)\mathrm {id}$

中心扩张

若 $M$ 是平凡的 $G$ 模（即 $\forall g\in G,\;gm=m$），则 $H^{2}(G,M)$ 中的元素一一对应于 $G$ 对 $M$ 的中心扩张的等价类

$0\to M\to E{\stackrel {p}{\to }}G\to 1$

中心扩张意谓：$0\to M\to E\to G\to 1$ 是群扩张，而且 $M$ 落在 $E$ 的中心内。

具体描述方法是：任取一映射 $s:G\to E,p\circ s=\mathrm {id} _{G}$。$s$ 不一定是群同态，但存在函数 $f:G^{2}\to M$ 使得 $s(g)s(g')=f(g,g')s(gg')$。$s$ 及 $f$ 刻划了 $E$ 的群结构。不难验证 $f\in K^{2}$ 满足 $df=0$，而 $s$ 的选取对应于 $f\mapsto f+dh,h\in K^{1}$，所以 $f\in H^{2}(G,A)$ 仅决定于唯一的一个中心扩张。反之，任一 $f\in H^{2}(G,A)$ 都来自于某个中心扩张，证毕。

谱序列

若 $N\subset G$ 是 $G$ 的正规子群，则有下述谱序列

$H^{p}(G/N,H^{q}(N,A))\implies H^{p+q}(G,A).\,$

对于射影有限群，此式依然成立。

参考文献

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• Rotman, Joseph, An Introduction to the Theory of Groups, Springer-Verlag, 1995, ISBN 978-0-387-94285-8, MR1307623 
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• Serre, Jean-Pierre, Cohomologie galoisienne, Lecture Notes in Mathematics 5 Fifth, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994, ISBN 978-3-540-58002-7, MR1324577 
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