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分裂四元數乘法

×	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	-1	k	−j
j	j	−k	1	i
k	k	j	i	1

在抽象代數中，分裂四元數（split-quaternions）或反四元數（coquaternions）是一種四維的結合代數的元素，由James Cockle在1849年引入，當時稱為反四元數。 類似於漢密爾頓1843年引入的四元數 ，它們組成了一個四維的實向量空間,且有乘法運算。 與四元數不同，分裂四元數包含非平凡的零因子、冪零元和{{Tsl|en|Idempotent_(ring_theory)|冪等元}。（例如， ${1 \over 2}(1+j)$ 是冪等的零因子，而$i-j$ 是冪零元。)作為一種數學結構，分裂四元數形成了域代數，且與2 × 2的實矩陣同構。

集合 $\left\{1,i,j,k\right\}$組成一個基。 這些元素的積由

$ij=k=-ji$,

$jk=-i=-kj$,

$ki=j=-ik$,

$i^{2}=-1$,

$j^{2}=+1$,

$k^{2}=+1$

給出。因此$ijk=1$。 由以上定義可得，集合$\left\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\right\}$在分裂四元數乘法的定義下是一個群，與二面體群$D_{4}$同構，稱為正方形的對稱群。

分裂四元數$q=w+xi+yj+zk$的共軛$q^{*}=w-xi-yj-zk$。

由於其基向量的反交換性，分裂四元數與其共軛的積由其迷向二次型

$N(q)=qq^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}$

給出。

給定兩個反四元數$p$和$q$，有$N(pq)=N(p)N(q)$，意味着$N$ 是可合成的二次型。 其上的代數是一種合成代數，$N$ 是其範數。 任何滿足$q\neq 0$，$N(q)=0$的反四元數q稱為零向量（Null vector而非Zero vector)，它的存在意味着反四元數形成"分裂的合成代數"，因此反四元數也被稱為分裂四元數。

當範數非零時，$q$有倒數，即 $q^{*} \over N(q)$. 集合

$U=\left\{q:qq^{*}\neq 0\right\}$

是單位元的集合。 全體分裂四元數的集合$\mathbb {P}$組成環 $(\mathbb {P} ,+,\cdot )$ ，其單位群為$(U,\cdot )$。全體$N(q)=1$的分裂四元數組成一個非緊緻的拓撲群 $SU(1,1)$，且與$SL(2,\mathbb {R} )$同構（見下）。

歷史上講，分裂四元數早於凱萊的矩陣代數；分裂四元數(及四元數和雙複數)引發了對線性代數的深入研究。

矩陣表示

令$q=w+xi+yj+zk$，考慮普通複數$u=w+xi$, $v=y+zi$，它們的共軛複數為$u=w+xi$, $v=y+zi$。然後

${\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}$

將$q$表示為矩陣環，其中的分裂四元數的乘法與矩陣乘法的行為相同。例如，這個矩陣的行列式是

$uu^{*}-vv^{*}=qq^{*}$

減號的出現將反四元數與使用了加號的四元數$\mathbb {H}$區分開來。雙曲幾何中，龐加萊圓盤模型上範數為1的分裂四元數代表多重引導的使用是代數最重要的運用之一。

除了復矩陣表示，另一種線性表示將反四元數與2×2實矩陣聯繫起來。這種同構可以明確如下：首先注意到積

${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$

左邊每個因子的平方是單位矩陣，而右邊的平方是單位矩陣的負數。此外，注意這三個矩陣，連同單位矩陣，構成了$M(2,\mathbb {R} )$的基。可以使上述矩陣乘積對應於反四元數環中的$jk=-i$。然後，對於任意矩陣有一個雙射

${\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\leftrightarrow q={\frac {(a+d)+(c-b)i+(b+c)j+(a-d)k}{2}},$

這實際上形成了環同構。此外，計算各項的平方和表明$qq^{*}=ad-bc$，矩陣的行列式。因此，反四元數的單位擬球與$SL(2,\mathbb {R} )=\{g\in M(2,\mathbb {R} ):\det g=1\}$群同構，因此與$SU(1,1)$也群同構，後者可以從上面的復表示中得到。

例如，用2×2實矩陣表示雙曲運動群，見Karzel和Kist。

在這兩種線性表示中，範數由行列式給出。由於行列式是乘法映射，兩個反四元數積的範數等於範數的積。這樣反四元數就形成了合成代數。作為實數域上的代數，它是僅有的七個這樣的代數之一。

由雙曲複數生成

Kevin McCrimon展示了如何按照L. E. Dickson和Adrian Albert為$\mathbb {C}$、$\mathbb {H}$和$\mathbb {O}$給出的除法構造所有的合成代數。實際上，他給出了real-split的doubled product的乘法法則

$(a,b)(c,d)\ =\ (ac+d^{*}b,\ da+bc^{*})$

如前所述，雙共軛 $(a,b)^{*}\ =\ (a^{*},-b),$ 因此

$N(a,b)\ =\ (a,b)(a,b)^{*}\ =\ (aa^{*}-bb^{*},0).$

如果a和b是雙曲複數，分裂四元數$q=(a,b)=((w+zj),(y+xj))$那麼

$N(q)=aa^{*}-bb^{*}=w^{2}-z^{2}-(y^{2}-x^{2})=w^{2}+x^{2}-z^{2}-y^{2}$.

性質

圓E在平面 z =0中。



J 的元素是+1的平方根。

I的元素是−1的平方根。

可以通過$\mathbb {P}$的子空間$\{zi+xj+yk:x,y,z\in \mathbb {R} \}$來了解其子代數。

令

$r(\theta )=j\cos \theta +k\sin \theta$

參數$z$和$r(\theta )$是此子空間中圓柱坐標系的基。參數$\theta$表示方位角。接下來令a表示任意實數，並考慮反四元數

$p(a,r)=i\sinh a+r\cosh a$

$v(a,r)=i\cosh a+r\sinh a$

這正是Alexander Macfarlane和Carmody的等邊雙曲面坐標。

接下來，在環的向量子空間中構造三個基礎集合:

$E=\{r\in \mathbb {P} :r=r(\theta ),0\leq \theta <2\pi \}$

$J=\{p(a,r)\in \mathbb {P} :a\in \mathbb {R} ,r\in E\}$, 單葉雙曲面

$I=\{v(a,r)\in \mathbb {P} :a\in \mathbb {R} ,r\in E\}$, 雙葉雙曲面

現在很容易驗證

$\{q\in \mathbb {P} :q^{2}=1\}=J\cup \{1,-1\}$

及

$\{q\in \mathbb {P} :q^{2}=-1\}=I$

這些集合相等意味着當$p\in J$時，平面

$\{x+yp:x,y\in \mathbb {R} \}=D_{p}$

是$\mathbb {P}$的一個與雙曲複數平面同構的子環，就像對$I$中的任意$v$，

$\{x+yv:x,y\in \mathbb {R} \}=C_{v}$

是與普通複平面$\mathbb {C}$同構的$\mathbb {P}$的平面子環。

注意對於所有$r\in E$， $(r+i)^{2}=0=(r-i)^{2}$，因此$r+i$和$r-i$是冪零元。平面$N=\{x+y(r+i):x,y\in \mathbb {R} \}$是$\mathbb {P}$的一個與二元數同構的子環。由於每個反四元數都必須位於某個$D_{p}$、$C_{v}$或$N$平面上，所以這些平面組成了$\mathbb {P}$，例如，單位擬球

$SU(1,1)=\{q\in \mathbb {P} :qq^{*}=1\}$

包含了$\mathbb {P}$的構成平面上的「單位圓」：在$D_{p}$中是一個單位雙曲線，在$N$中是一對平行線，而在$C_{v}$中確實是一個圓。

泛正交性

反四元數$q=w+xi+yj+zk$的標量部分為w。

定義 對於非零反四元數$q$和$t$，$q\perp t$當且僅當乘積$qt^{*}$的標量部分為零。

• 對任意的 $v\in I$，如果 $q,t\in C_{v}$，那麼$q\perp t$意味着從$0$到$q$和$t$的射線是垂直的。
• 對任意的 $p\in J$，如果 $q,t\in D_{p}$，那麼$q\perp t$意味着這兩點是雙曲正交的。
• 對任意的 $r\in E$ ， $a\in \mathbb {R}$，$p(a,r)$和$v(a,r)$滿足 $q\perp t$。
• 如果$u$是反四元數環中的一個單位元，那麼$q\perp t$意味着$qu\perp tu$。

證明：因向量外積的反交換性，$(tu)^{*}=u^{*}t^{*}$，因此$(qu)(tu)^{*}=(uu^{*})q(t^{*})$。