使用者:用戶名永遠已存在/分裂四元數

分裂四元數乘法
× 1 i j k
1 1 i j k
i i -1 k −j
j j −k 1 i
k k j i 1

抽象代數中,分裂四元數(split-quaternions)或反四元數(coquaternions)是一種四維的結合代數的元素,由James Cockle英語James Cockle在1849年引入,當時稱為反四元數。 類似於漢密爾頓1843年引入的四元數 ,它們組成了一個四的實向量空間,且有乘法運算。 與四元數不同,分裂四元數包含非平凡的零因子冪零元和{{Tsl|en|Idempotent_(ring_theory)|冪等元}。(例如, 是冪等的零因子,而 是冪零元。)作為一種數學結構,分裂四元數形成了域代數,且與2 × 2的矩陣同構

集合 組成一個。 這些元素的積由

,
,
,
,
,

給出。因此。 由以上定義可得,集合在分裂四元數乘法的定義下是一個,與二面體群同構,稱為正方形的對稱群。

分裂四元數共軛

由於其基向量的反交換性,分裂四元數與其共軛的積由其迷向二次型


給出。

給定兩個反四元數,有,意味着 是可合成的二次型。 其上的代數是一種合成代數, 是其範數。 任何滿足的反四元數q稱為零向量(Null vector而非Zero vector),它的存在意味着反四元數形成"分裂的合成代數",因此反四元數也被稱為分裂四元數

當範數非零時,倒數,即 . 集合

單位元的集合。 全體分裂四元數的集合組成 ,其單位群。全體的分裂四元數組成一個非緊緻拓撲群 ,且與同構(見下)。

歷史上講,分裂四元數早於凱萊的矩陣代數;分裂四元數(及四元數和雙複數)引發了對線性代數的深入研究。

矩陣表示

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 ,考慮普通複數 ,  ,它們的共軛複數為 ,  。然後

 

 表示為矩陣環,其中的分裂四元數的乘法與矩陣乘法的行為相同。例如,這個矩陣的行列式

 

減號的出現將反四元數與使用了加號的四元數 區分開來。雙曲幾何中,龐加萊圓盤模型上範數為1的分裂四元數代表多重引導的使用是代數最重要的運用之一。

除了復矩陣表示,另一種線性表示將反四元數與2×2實矩陣英語2_×_2_real_matrices聯繫起來。這種同構可以明確如下:首先注意到積

 

左邊每個因子的平方是單位矩陣,而右邊的平方是單位矩陣的負數。此外,注意這三個矩陣,連同單位矩陣,構成了 的基。可以使上述矩陣乘積對應於反四元數環中的 。然後,對於任意矩陣有一個雙射

 

這實際上形成了環同構。此外,計算各項的平方和表明 ,矩陣的行列式。因此,反四元數的單位擬球英語Quasi-sphere 群同構,因此與 也群同構,後者可以從上面的復表示中得到。

例如,用2×2實矩陣表示雙曲運動群,見Karzel和Kist。[1]

在這兩種線性表示中,範數由行列式給出。由於行列式是乘法映射,兩個反四元數積的範數等於範數的積。這樣反四元數就形成了合成代數。作為實數上的代數,它是僅有的七個這樣的代數之一。

由雙曲複數生成

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Kevin McCrimon展示了如何按照L. E. Dickson和Adrian Albert為   給出的除法構造所有的合成代數。[2]實際上,他給出了real-split的doubled product的乘法法則

 

如前所述,雙共軛   因此

 

如果ab雙曲複數,分裂四元數 那麼

 .

性質

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圓E在平面 z =0中。



J 的元素是+1的平方根
 




I的元素是−1的平方根。

可以通過 的子空間 來了解其子代數。

 

參數  是此子空間中圓柱坐標系的基。參數 表示方位角。接下來令a表示任意實數,並考慮反四元數

 
 

這正是Alexander Macfarlane英語Alexander Macfarlane和Carmody的等邊雙曲面坐標。[3]

接下來,在環的向量子空間中構造三個基礎集合:

 
 , 單葉雙曲面
 , 雙葉雙曲面

現在很容易驗證

 

 

這些集合相等意味着當 時,平面

 

 的一個與雙曲複數平面同構的子環,就像對 中的任意 

 

是與普通複平面 同構的 的平面子環。

注意對於所有  ,因此  是冪零元。平面  的一個與二元數同構的子環。由於每個反四元數都必須位於某個   平面上,所以這些平面組成了 ,例如,單位擬球

 

包含了 的構成平面上的「單位圓」:在 中是一個單位雙曲線,在 中是一對平行線,而在 中確實是一個圓。

泛正交性

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反四元數 標量部分為w。

定義 對於非零反四元數   當且僅當乘積 的標量部分為零。

  • 對任意的  ,如果  ,那麼 意味着從   射線垂直的。
  • 對任意的  ,如果  ,那麼 意味着這兩點是雙曲正交英語Hyperbolic_orthogonality的。
  • 對任意的     滿足  
  • 如果 是反四元數環中的一個單位元,那麼 意味着 

證明:因向量外積的反交換性, ,因此 

參考資料

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  1. ^ Karzel, Helmut & Günter Kist (1985) "Kinematic Algebras and their Geometries", in Rings and Geometry, R. Kaya, P. Plaumann, and K. Strambach editors, pp. 437–509, esp 449,50, D. Reidel
  2. ^ Kevin McCrimmon (2004) A Taste of Jordan Algebras, page 64, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 MR[1]
  3. ^ Carmody, Kevin (1997) "Circular and hyperbolic quaternions, octonions, sedionions", Applied Mathematics and Computation 84(1):27–47, esp. 38