二十面體半形

{6,5}
	<img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/57/Petrial_great_dodecahedron.gif/140px-Petrial_great_dodecahedron.gif" decoding="async" width="140" height="137" class="mw-file-element" data-file-width="600" data-file-height="586"> <img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Petrial_small_stellated_dodecahedron.gif/140px-Petrial_small_stellated_dodecahedron.gif" decoding="async" width="140" height="144" class="mw-file-element" data-file-width="600" data-file-height="618"> 左：皮特里大十二面體; 右：皮特里小星形十二面體; 以不同顏色表示每個面
類別	皮特里對偶; 正則地區圖
數學表示法
施萊夫利符號	皮特里大十二面體：{5,5/2}π; 皮特里小星形十二面體：{5/2,5}π
性質
面	10
邊	30
頂點	12
歐拉特徵數	F=10, E=30, V=12 （χ=-8）
二面角	(不存在)
對稱性
對稱群	Ih, H3, [5,3], *532
特性
	扭歪、正則
	閱; 論; 編;

皮特里二十面體
	<img alt="二十面體半形" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/04/Petrial_icosahedron.gif/240px-Petrial_icosahedron.gif" decoding="async" width="240" height="234" class="mw-file-element" data-file-width="600" data-file-height="586"> 以不同顏色表示每個面
類別	皮特里對偶; 正則地區圖
數學表示法
施萊夫利符號	{3,5}π
性質
面	6
邊	30
頂點	12
歐拉特徵數	F=6, E=30, V=12 （χ=-12）
二面角	(不存在)
對稱性
對稱群	Ih, H3, [5,3], *532
特性
	扭歪、正則
	閱; 論; 編;

二十面體半形
類別	抽象多胞形（英語：Abstract polytope）; 射影多面體（英語：projective polyhedron）
對偶多面體	十二面體半形
數學表示法
施萊夫利符號	{3,5}/2 ; {3,5}5
性質
面	10
邊	15
頂點	6
歐拉特徵數	F=10, E=15, V=6 （χ=1）
組成與佈局
頂點圖	3.3.3.3.3
對稱性
對稱群	A5, 60階
特性
	不可定向、歐拉示性數為1
圖像
	; 3.3.3.3.3; （頂點圖）
	; 十二面體半形; （對偶多面體）
	閱; 論; 編;

在抽象幾何學中，二十面體半形是一種抽象正多面體，由一半數量的正二十面體面構成。二十面體半形可被視為是一種射影多面體（英語：projective polyhedron），可視為由十個三角形構成的實射影平面鑲嵌。

性質

二十面體半形是一種抽象正多面體（英語：Abstract regular polytope），共由10個面、15條邊和6個頂點組成；其中所有10個面都是正三角形、每個頂點都是5個正三角形的公共頂點，在施萊夫利符號中可以用{3,5}₅^[1]或{3,5}/2^[2]來表示，其中{3,5}代表且每個頂點都是5個正三角形的公共頂點，然而{3,5}代表正常的正二十面體，因此用{3,5}₅符號來表示二十面體半形^[3]。二十面體半形的皮特里多邊形為五邊形。^[4]

二十面體半形	二十面體半形的皮特里多邊形

二十面體半形的對偶多面體為十二面體半形^[5]。

二十面體半形	二十面體半形的對偶多面體十二面體半形

二十面體半形的對稱群為A₅考克斯特群。所有多面體中僅有2種多面體具備A₅考克斯特群對稱性^[6]，另外一個與A₅考克斯特群對應的半形體為大十二面體半形。^[7]

具象化

二十面體半形是一個抽象多面體，其無法實體存在，但可以透過一些手段來具象化。其中一種方式是使用其對應的正則地區圖來具象化。二十面體半形對應的正則地區圖可被具象為一個五維空間扭歪正多面體，該多面體所有6個頂點和15條邊皆位於五維正六胞體上^[8]，而原有五維正六胞體有20個三角形面，而對應的二十面體半形之扭歪多面體具象化則僅交錯地取其中10個面^[9]，並且相鄰的2個面位於相同三維平坦空間中，但整體立體不位於相同三維空間中，因此是一個扭歪多面體。^[10]在這個具象化中，其三角形-三角形二面角為3的反正割值（ $\sec ^{-1}{3}\approx 1.2309594$ 弧度，約70.5287795度），與一般正二十面體的三角形-三角形二面角（ $\pi -\sin ^{-1}{\frac {2}{3}}\approx 2.411865$ 弧度，約138.189685度）不同。 ^[10]

在拓樸學上，二十面體半形與四面半六面體相關。若將四面半六面體的每一個正方形面替換為2個三角形，則所形成的立體若只看面之間的相鄰關係，會與二十面體半形無異，即每個頂點都是5個三角形的公共頂點，且由10個面（4個正三角形與6個直角三角形）、15條邊（12條四面半六面體的邊與3條正方形面替換為2個三角形時形成的邊）和6個頂點組成。^[11]

完全圖K6

二十面體半形和五維正六胞體有着相同的邊以及頂點，但只有其一半數量的面^[9]。而五維正六胞體對應的骨架圖為 $K_{6}$ 完全圖，即有着六個頂點的完全圖^[9]，因此從圖論的角度來看，二十面體半形可以視為是嵌入於實射影平面的 $K_{6}$ 完全圖。其對應的對偶圖皮特森圖也對應到了二十面體半形的對偶多面體十二面體半形。^[12]

完全圖K₆表示出二十面體半形的六個頂點以及十五條邊

相關多面體

參見

四維正十一胞體 - 一個由十一個二十面體半形構成的抽象多胞體。
十二面體半形
立方體半形
八面體半形

參考文獻

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外部連結

二十面體半形（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

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名稱	構成面
皮特里二十面體	扭歪十邊形
皮特里大十二面體	扭歪六邊形

二十面體半形

目次

性質

具象化

完全圖K6

相關多面體

相關半形體

截角二十面體半形

截半二十面體半形

相關皮特里對偶

二十面體半形的皮特里對偶

皮特里二十面體

皮特里大十二面體與皮特里小星形十二面體

參見

參考文獻

外部連結

數學表示法
以不同顏色表示每個面
類別	皮特里對偶正則地區圖
施萊夫利符號	{3,5}^$π$
性質
面	6
邊	30
頂點	12
歐拉特徵數	F=6, E=30, V=12 （χ=-12）
二面角	(不存在)
對稱性
對稱群	I_h, H₃, [5,3], *532
特性
扭歪、正則
閱論編

數學表示法
左：皮特里大十二面體右：皮特里小星形十二面體以不同顏色表示每個面
類別	皮特里對偶正則地區圖
施萊夫利符號	皮特里大十二面體：{5,5/2}^$π$ 皮特里小星形十二面體：{5/2,5}^$π$
性質
面	10
邊	30
頂點	12
歐拉特徵數	F=10, E=30, V=12 （χ=-8）
二面角	(不存在)
對稱性
對稱群	I_h, H₃, [5,3], *532
特性
扭歪、正則
閱論編