凸包

在一個實數向量空間 $V$ 中，對於給定集合 $X$ ，所有包含X的凸集的交集 $S$ 被稱為 $X$ 的凸包。

S:=\bigcap _{X\subseteq K\subseteq V \atop K\ \mathrm {is\ convex} }K.

$X$ 的凸包可以用 $X$ 內所有點 $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ 的線性組合來構造。

S:=\left\{\left.\,\sum _{j=1}^{n}t_{j}x_{j}\,\right|x_{j}\in X,\,\sum _{j=1}^{n}t_{j}=1,\,t_{j}\in \lbrack 0,1\rbrack \,\right\}.

在二維歐幾里得空間中，凸包可想像為一條剛好包着所有點的橡皮圈。

演算法

增量式算法

逐次將點加入，然後檢查之前的點是否在新的凸包上。由於每次都要檢查所有之前的點，時間複雜度為 $O(n^{2})$ 。

包裹法（Jarvis步進法）

首先由一點必定在凸包的點開始，例如最左的一點 $A_{1}$ 。然後選擇 $A_{2}$ 點使得所有點都在 $A_{1}A_{2}$ 的右方，這步驟的時間複雜度是 $O(n)$ ，要比較所有點以 $A_{1}$ 為原點的極坐標角度。以 $A_{2}$ 為原點，重覆這個步驟，依次找到 $A_{3},A_{4},...,A_{k},A_{1}$ 。這總共有 $k$ 步。因此，時間複雜度為 $O(kn)$ 。

葛立恆（Graham）掃描法

由最底的一點 $A_{1}$ 開始（如果有多個這樣的點，那麼選擇最左邊的），計算它跟其他各點的連線和x軸正向的角度，按小至大將這些點排序，稱它們的對應點為 $A_{2},A_{3},...,A_{n}$ 。這裏的時間複雜度可達 $O(n\log {n})$ 。

考慮最小的角度對應的點 $A_{3}$ 。若由 $A_{2}$ 到 $A_{3}$ 的路徑相對 $A_{1}$ 到 $A_{2}$ 的路徑是向右轉的（可以想像一個人沿 $A_{1}$ 走到 $A_{2}$ ，他站在 $A_{2}$ 時，是向哪邊改變方向），表示 $A_{3}$ 不可能是凸包上的一點，考慮下一點由 $A_{2}$ 到 $A_{4}$ 的路徑；否則就考慮 $A_{3}$ 到 $A_{4}$ 的路徑是否向右轉……直到回到 $A_{1}$ 。

這個演算法的整體時間複雜度是 $O(n\log {n})$ ，注意每點只會被考慮一次，而不像Jarvis步進法中會考慮多次。

這個演算法由葛立恆在1972年發明。^[1]它的缺點是不能推廣到二維以上的情況。

單調鏈

將點按x坐標的值排列，再按y坐標的值排列。

選擇x坐標為最小值的點，在這些點中找出y坐標的值最大和y坐標的值最小的點。對於x坐標為最大值也是這樣處理。將兩組點中y坐標值較小的點連起。在這條線段下的點，找出它們之中y坐標值最大的點，又在它們之間找x坐標值再最小和最大的點……如此類推。

時間複雜度是 $O(n\log {n})$ 。

分治法

將點集X分成兩個不相交子集。求得兩者的凸包後，計算這兩個凸包的凸包，該凸包就是X的凸包。時間複雜度是 $O(n\log {n})$ 。

快包法（Akl-Toussaint啟發式）

選擇最左、最右、最上、最下的點，它們必組成一個凸四邊形（或三角形）。這個四邊形內的點必定不在凸包上。然後將其餘的點按最接近的邊分成四部分，再進行快包法（QuickHull）。

各種星形多面體的凸包

多面體名稱	凸包
小星形十二面體	正二十面體
大十二面體	正二十面體
大星形十二面體	正十二面體
大二十面體	正十二面體

應用

參考

^ Graham, R.L. (1972). An Efficient Algorithm for Determining the Convex Hull of a Finite Planar Set. Information Processing Letters 1, 132-133

Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0262032937. Pages 955–956 of section 33.3: Finding the convex hull.
The Convex Hull of a 2D Point Set or Polygon, by Dan Sunday（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

參見

外部連結

一個展示這些演算法如何運作的Java Applet
Convex Hull, Kin Yin Li
QuickHull 介紹：（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Incremental(增量法) 介紹（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Jarvis March (Gift Wripping)介紹：（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

[1] Graham, R.L. (1972). An Efficient Algorithm for Determining the Convex Hull of a Finite Planar Set. Information Processing Letters 1, 132-133

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