劉維爾–阿諾德定理

動力系統理論中,劉維爾–阿諾德定理指出,若在具有n自由度哈密頓力學系統中,存在n個泊松交換的獨立第一運動積分,且能級集是緊的,則就存在到作用量-角度坐標正則變換,變換後的哈密頓量只依賴於作用量坐標,角度坐標隨時間線性變化。因此,若能分離級同時集(level simultaneous set)條件,系統的運動方程便可通過化方求解。定理得名於約瑟夫·劉維爾弗拉基米爾·阿諾德[1][2][3][4][5](pp. 270–272)

歷史

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定理的原始形式是劉維爾於1853年針對 上具有規範辛結構的函數證明的。阿諾德在1974年出版的教科書《經典力學的數學方法》中給出了到辛流形的推廣。

陳述

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初步定義

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  維辛流形,具有辛結構 

 上的可積系統是 上的n個函數組成的集合,記作 ,滿足

  • (一般)線性獨立:稠密集上 
  • 相互泊松交換:泊松括號 對任意一對 都為0

泊松括號是每個 對應的哈密頓向量場李氏括號。簡單說,若 是對應於光滑函數 的哈密頓向量場,則對兩光滑函數 ,泊松括號是 

 ,則稱點p是正則點(regular point)。

可積系統定義了函數  表示函數 的水平集   或記作 

若給 附加一個區分函數H的結構,則當H可以補全(completed)為可積系統時(即存在可積系統 ),哈密頓系統 是可積的。

定理

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 是可積哈密頓系統、p是正則點,則定理描述了正則點的像 的水平集 

  •  是光滑流形,在由 引發的哈密頓流作用下不變(因此在可積系統的任何元素引發的哈密頓流下也不變)。
  •  更緊且連通,則就微分同胚於N-環面 
  •  上存在(局部)坐標 ,使得 在水平集上為常,而 。這些坐標稱作作用量-角度坐標

劉維爾可積系統例子

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可積的哈密頓系統可稱作「劉維爾意義上可積」或「劉維爾可積」。比較知名的例子如下。

一些記號是文獻中的標準符號。考慮的辛流形是 時,其坐標通常寫作 ,規範辛形式是 。除非另有說明,否則本節將假設這些參數。

  • 哈密頓諧振子 ,其中 。定義 ,可積系統是 
  • 連心力系統 ,其中 U是某勢函數。定義角動量 ,可積系統是 

另見

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參考文獻

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  1. ^ J. Liouville, « Note sur l'intégration des équations différentielles de la Dynamique, présentée au Bureau des Longitudes le 29 juin 1853 », JMPA, 1855, p. 137-138, pdf頁面存檔備份,存於互聯網檔案館
  2. ^ Fabio Benatti. Dynamics, Information and Complexity in Quantum Systems. Springer Science & Business Media. 2009: 16. ISBN 978-1-4020-9306-7. 
  3. ^ P. Tempesta; P. Winternitz; J. Harnad; W. Miller Jr; G. Pogosyan; M. Rodriguez (編). Superintegrability in Classical and Quantum Systems. American Mathematical Society. 2004: 48. ISBN 978-0-8218-7032-7. 
  4. ^ Christopher K. R. T. Jones; Alexander I. Khibnik (編). Multiple-Time-Scale Dynamical Systems. Springer Science & Business Media. 2012: 1. ISBN 978-1-4613-0117-2. 
  5. ^ Arnold, V. I. Mathematical Methods of Classical Mechanics . Springer. 1989. ISBN 9780387968902.