刘维尔–阿诺德定理

动力系统理论中，刘维尔–阿诺德定理指出，若在具有n自由度的哈密顿力学系统中，存在n个泊松交换的独立第一运动积分，且能级集是紧的，则就存在到作用量-角度坐标的正则变换，变换后的哈密顿量只依赖于作用量坐标，角度坐标随时间线性变化。因此，若能分离级同时集（level simultaneous set）条件，系统的运动方程便可通过化方求解。定理得名于约瑟夫·刘维尔和弗拉基米尔·阿诺德。^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^{（pp. 270–272）}

历史

定理的原始形式是刘维尔于1853年针对 $\mathbb {R} ^{2n}$ 上具有规范辛结构的函数证明的。阿诺德在1974年出版的教科书《经典力学的数学方法》中给出了到辛流形的推广。

陈述

初步定义

令 $(M^{2n},\omega )$ 是 $2n$ 维辛流形，具有辛结构 $\omega$ 。

$M^{2n}$ 上的可积系统是 $M^{2n}$ 上的n个函数组成的集合，记作 $F=(F_{1},\cdots ,F_{n})$ ，满足

（一般）线性独立：稠密集上 $dF_{1}\wedge \cdots \wedge dF_{n}\neq 0$
相互泊松交换：泊松括号 $(F_{i},F_{j})$ 对任意一对 $i,j$ 都为0

泊松括号是每个 $F_{i}$ 对应的哈密顿向量场的李氏括号。简单说，若 $X_{H}$ 是对应于光滑函数 $H:M^{2n}\rightarrow \mathbb {R}$ 的哈密顿向量场，则对两光滑函数 $F,G$ ，泊松括号是 $(F,G)=[X_{F},X_{G}]$ 。

若 $df_{1}\wedge \cdots \wedge df_{n}(p)\neq 0$ ，则称点p是正则点（regular point）。

可积系统定义了函数 $F:M^{2n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ 。 $L_{\mathbf {c} }$ 表示函数 $F_{i}$ 的水平集 $L_{\mathbf {c} }=\{x:F_{i}(x)=c_{i}\},$ 或记作 $L_{\mathbf {c} }=F^{-1}(\mathbf {c} )$ 。

若给 $M^{2n}$ 附加一个区分函数H的结构，则当H可以补全（completed）为可积系统时（即存在可积系统 $F=(F_{1}=H,F_{2},\cdots ,F_{n})$ ），哈密顿系统 $(M^{2n},\omega ,H)$ 是可积的。

定理

若 $(M^{2n},\omega ,F)$ 是可积哈密顿系统、p是正则点，则定理描述了正则点的像 $c=F(p)$ 的水平集 $L_{c}$ ：

$L_{c}$ 是光滑流形，在由 $H=F_{1}$ 引发的哈密顿流作用下不变（因此在可积系统的任何元素引发的哈密顿流下也不变）。
若 $L_{c}$ 更紧且连通，则就微分同胚于N-环面 $T^{n}$ 。
$L_{c}$ 上存在（局部）坐标 $(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n},\omega _{1},\cdots ,\omega _{n})$ ，使得 $\omega _{i}$ 在水平集上为常，而 ${\dot {\theta }}_{i}:=(H,\theta _{i})=\omega _{i}$ 。这些坐标称作作用量-角度坐标。

刘维尔可积系统例子

可积的哈密顿系统可称作“刘维尔意义上可积”或“刘维尔可积”。比较知名的例子如下。

一些记号是文献中的标准符号。考虑的辛流形是 $\mathbb {R} ^{2n}$ 时，其坐标通常写作 $(q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})$ ，规范辛形式是 $\omega =\sum _{i}dq_{i}\wedge dp_{i}$ 。除非另有说明，否则本节将假设这些参数。

哈密顿谐振子： $(\mathbb {R} ^{2n},\omega ,H)$ ，其中 $H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\sum _{i}\left({\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)$ 。定义 $H_{i}={\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}$ ，可积系统是 $(H,H_{1},\cdots ,H_{n-1})$ 。

连心力系统 $(\mathbb {R} ^{6},\omega ,H)$ ，其中 $H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}-U(\mathbf {q} ^{2})$ ，U是某势函数。定义角动量 $\mathbf {L} =\mathbf {p} \times \mathbf {q}$ ，可积系统是 $(H,\mathbf {L} ^{2},L_{3})$ 。