局部緊阿貝爾群

調和分析拓撲學數論數學領域中,局部緊阿貝爾群是具有特別方便拓撲的阿貝爾群。例如整數群(具有離散拓撲)、或實數(都具有通常拓撲)都是局部緊阿貝爾群。

定義與例子

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拓撲空間,若其底拓撲空間是局部緊豪斯多夫空間,則稱拓撲空間是局部緊的;若底群的阿貝爾群,則稱拓撲群是阿貝爾的。

局部緊阿貝爾群的例子有:

  •  ,其中n是正整數,向量加法為群作用。
  • 正實數 ,乘法為群作用。由指數映射與 同構。
  • 任意具有離散拓撲的有限阿貝爾群。由有限生成阿貝爾群的基本定理,所有此種群都是循環群之積。
  • 具有離散拓撲的整數 ,加法為群作用。
  • 圓群,對環面記作 。這是為1的複數群。 作為拓撲群同構於商群 
  • P進數 ,加法為群作用,具有通常的P進拓撲。

對偶群

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G的局部緊阿貝爾群,則G特徵G圓群 連續群同態G上的特徵集可組成局部緊阿貝爾群,稱作G的對偶群,記作 ;其群作用是特徵的逐點乘,特徵的逆是其復共軛,特徵空間的拓撲緊集上的一致收斂拓撲(即緊緻開拓撲,將 視作G 的所有連續函數空間的子集)。這種拓撲一般來說是不可度量的,但若G可分局部緊阿貝爾群,則其對偶群可度量。 這類似於線性代數中的對偶空間:正如對域K上的向量空間V,對偶空間是 ,對偶群 也如此。更抽象地說,它們都是可表函子,分別表為'K 

同構於對偶群的群(作為拓撲群)自對偶。實數與有限循環群是自對偶的,而實數群與對偶群並不自然同構,應視作兩個不同的群。

對偶群的例子

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 的對偶群與圓群 同構。加法下的整數 有限循環群上的特徵由其在生成子1上的值決定。因此,對 上的特徵  。此外,這個公式為 中任意選擇的 定義了一個特徵。這種情況下,緊集上的一致收斂拓撲就是逐點收斂拓撲,這是從複數繼承來的圓群拓撲。

 的對偶規範同構於 。事實上, 上的特徵具有形式 ,其中n是整數。由於 是緊的,所以其對偶群的拓撲是一致收斂拓撲,也就是離散拓撲

實數群 是自對偶的,其上的特徵具有形式 ,其中 是實數。有了這些對偶性,下面介紹的傅里葉變換就與 上的經典傅里葉變換重合了。

同樣,p-進數群 是自對偶的(實際上, 的任意有限擴張也是自對偶的)。由此可見,賦值向量環是自對偶的。

龐特里亞金對偶性

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龐特里亞金對偶性斷言,函子

 

在局部緊阿貝爾群範疇(具有連續態射)的對偶範疇與它本身之間誘導出一個等價關係

 

範疇論性質

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Clausen (2017)證明,局部緊阿貝爾群範疇LCA大致可以度量整數和實數之間的差別。更確切地說,局部緊阿貝爾群範疇的代數K-理論譜,以及ZR的都位於同一個同倫纖維序列中:

 

參考文獻

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