局部緊阿貝爾群
在調和分析、拓撲學與數論等數學領域中,局部緊阿貝爾群是具有特別方便拓撲的阿貝爾群。例如整數群(具有離散拓撲)、圓或實數(都具有通常拓撲)都是局部緊阿貝爾群。
定義與例子
編輯有拓撲空間,若其底拓撲空間是局部緊豪斯多夫空間,則稱拓撲空間是局部緊的;若底群的阿貝爾群,則稱拓撲群是阿貝爾的。
局部緊阿貝爾群的例子有:
對偶群
編輯若G的局部緊阿貝爾群,則G的特徵是G到圓群 的連續群同態。G上的特徵集可組成局部緊阿貝爾群,稱作G的對偶群,記作 ;其群作用是特徵的逐點乘,特徵的逆是其復共軛,特徵空間的拓撲是緊集上的一致收斂拓撲(即緊緻開拓撲,將 視作G到 的所有連續函數空間的子集)。這種拓撲一般來說是不可度量的,但若G是可分局部緊阿貝爾群,則其對偶群可度量。 這類似於線性代數中的對偶空間:正如對域K上的向量空間V,對偶空間是 ,對偶群 也如此。更抽象地說,它們都是可表函子,分別表為'K、 。
同構於對偶群的群(作為拓撲群)自對偶。實數與有限循環群是自對偶的,而實數群與對偶群並不自然同構,應視作兩個不同的群。
對偶群的例子
編輯的對偶群與圓群 同構。加法下的整數 的有限循環群上的特徵由其在生成子1上的值決定。因此,對 上的特徵 , 。此外,這個公式為 中任意選擇的 定義了一個特徵。這種情況下,緊集上的一致收斂拓撲就是逐點收斂拓撲,這是從複數繼承來的圓群拓撲。
的對偶規範同構於 。事實上, 上的特徵具有形式 ,其中n是整數。由於 是緊的,所以其對偶群的拓撲是一致收斂拓撲,也就是離散拓撲。
實數群 是自對偶的,其上的特徵具有形式 ,其中 是實數。有了這些對偶性,下面介紹的傅立葉變換就與 上的經典傅立葉變換重合了。
同樣,p-進數群 是自對偶的(實際上, 的任意有限擴張也是自對偶的)。由此可見,賦值向量環是自對偶的。
龐特里亞金對偶性
編輯在局部緊阿貝爾群範疇(具有連續態射)的對偶範疇與它本身之間誘導出一個等價關係:
範疇論性質
編輯Clausen (2017)證明,局部緊阿貝爾群範疇LCA大致可以度量整數和實數之間的差別。更確切地說,局部緊阿貝爾群範疇的代數K-理論譜,以及Z、R的都位於同一個同倫纖維序列中:
參考文獻
編輯- Clausen, Dustin, A K-theoretic approach to Artin maps, 2017, arXiv:1703.07842v2