局部紧阿贝尔群

在调和分析、拓扑学与数论等数学领域中，局部紧阿贝尔群是具有特别方便拓扑的阿贝尔群。例如整数群（具有离散拓扑）、圆或实数（都具有通常拓扑）都是局部紧阿贝尔群。

定义与例子

有拓扑空间，若其底拓扑空间是局部紧豪斯多夫空间，则称拓扑空间是局部紧的；若底群的阿贝尔群，则称拓扑群是阿贝尔的。

局部紧阿贝尔群的例子有：

• $\mathbb {R} ^{n}$，其中n是正整数，向量加法为群作用。
• 正实数$\mathbb {R} ^{+}$，乘法为群作用。由指数映射与$(\mathbb {R} ,+)$同构。
• 任意具有离散拓扑的有限阿贝尔群。由有限生成阿贝尔群的基本定理，所有此种群都是循环群之积。
• 具有离散拓扑的整数$\mathbb {Z}$，加法为群作用。
• 圆群，对环面记作$\mathbb {T}$。这是模为1的复数群。$\mathbb {T}$作为拓扑群同构于商群$\mathbb {R} /\mathbb {Z}$。
• P进数域$\mathbb {Q} _{p}$，加法为群作用，具有通常的P进拓扑。

对偶群

若G的局部紧阿贝尔群，则G的特征是G到圆群$\mathbb {T}$的连续群同态。G上的特征集可组成局部紧阿贝尔群，称作G的对偶群，记作${\widehat {G}}$；其群作用是特征的逐点乘，特征的逆是其复共轭，特征空间的拓扑是紧集上的一致收敛拓扑（即紧致开拓扑，将${\widehat {G}}$视作G到$\mathbb {T}$的所有连续函数空间的子集）。这种拓扑一般来说是不可度量的，但若G是可分局部紧阿贝尔群，则其对偶群可度量。 这类似于线性代数中的对偶空间：正如对域K上的向量空间V，对偶空间是$\mathrm {Hom} (V,K)$，对偶群$\mathrm {Hom} (G,\mathbb {T} )$也如此。更抽象地说，它们都是可表函子，分别表为'K、$\mathbb {T}$。

同构于对偶群的群（作为拓扑群）自对偶。实数与有限循环群是自对偶的，而实数群与对偶群并不自然同构，应视作两个不同的群。

对偶群的例子

$\mathbb {Z}$的对偶群与圆群$\mathbb {T}$同构。加法下的整数$\mathbb {Z}$的有限循环群上的特征由其在生成子1上的值决定。因此，对$\mathbb {Z}$上的特征$\chi$，$\chi (n)=\chi (1)^{n}$。此外，这个公式为$\mathbb {T}$中任意选择的$\chi (1)$定义了一个特征。这种情况下，紧集上的一致收敛拓扑就是逐点收敛拓扑，这是从复数继承来的圆群拓扑。

$\mathbb {T}$的对偶规范同构于$\mathbb {Z}$。事实上，$\mathbb {T}$上的特征具有形式$z\mapsto z^{n}$，其中n是整数。由于$\mathbb {T}$是紧的，所以其对偶群的拓扑是一致收敛拓扑，也就是离散拓扑。

实数群$\mathbb {R}$是自对偶的，其上的特征具有形式$r\mapsto e^{i\theta r}$，其中$\theta$是实数。有了这些对偶性，下面介绍的傅里叶变换就与$\mathbb {R}$上的经典傅里叶变换重合了。

同样，p-进数群$\mathbb {Q} _{p}$是自对偶的（实际上，$\mathbb {Q} _{p}$的任意有限扩张也是自对偶的）。由此可见，赋值向量环是自对偶的。

庞特里亚金对偶性

庞特里亚金对偶性断言，函子

$G\mapsto {\hat {G}}$

在局部紧阿贝尔群范畴（具有连续态射）的对偶范畴与它本身之间诱导出一个等价关系：

$LCA^{op}{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}LCA.$

范畴论性质

Clausen (2017)证明，局部紧阿贝尔群范畴LCA大致可以度量整数和实数之间的差别。更确切地说，局部紧阿贝尔群范畴的代数K-理论谱，以及Z、R的都位于同一个同伦纤维序列中：

$K(\mathbf {Z} )\to K(\mathbf {R} )\to K(LCA).$

参考文献

• Clausen, Dustin, A K-theoretic approach to Artin maps, 2017, arXiv:1703.07842v2