魔群

魔群（英語：Monster group）或怪獸群，或友善巨人（the Friendly Giant）或費雪─格里斯怪獸（Fischer-Griess Monster），是一個有限單群，是26個散在群的其中之一，一般常將之記作M或F₁。

怪獸群的階是26個散在群中最大的，其階為

	246 · 320 · 59 · 76 · 112 · 133 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
=	808017424794512875886459904961710757005754368000000000
≈	8 · 1053

有限單群的分類已完成(見有限單群分類一文)。每個有限單群都屬於當中有的18類可數無限族中，或不包含於那些可系統化模式的18類可數無限族中，那26個的「散單群」中。而怪獸群是那26個散單群中階數最大的群。而二十六個散單群除了六個，其餘的散單群均是怪獸群的子集合。羅伯特‧格里斯(Robert Griess)將那六個不為魔群子集的群稱為「低群」(pariahs)，並以「快樂大家族」(the happy family)一詞稱呼其他的散單群。

或許對怪獸群最好的定義方式，就是將之定義為同時包含康威群(Conway group)和費歇爾群的有限單群中階最小者（怪獸群雖為散在群中階最大的，但這不表示它是所有有限單群中階最大的，其他類的有限單群中有階比其更大者存在）。

存在性與唯一性

怪獸群的存在性最早在1973年為貝恩德‧費雪(Bernd Fischer，他未出版相關想法)與羅伯特‧格里斯所預測，他們當時認為存在一個單群，該單群包含子怪獸群中做為某個對合的中心化子的某個雙覆蓋。數月後，M的階被格里斯以湯普森階公式(Thompson order formula)計算出，而費雪(Fischer)、康威(Conway)、諾頓(Norton)與湯普森(Thompson)等人則發現此群包含了其他的群做為其子商，被包含的群包括了許多已知的散單群，此外他們還發現了兩個新的單群：湯普森群和原田-諾頓群。格里斯將怪獸群建構為格里斯代數(一個196884維的交換非結合代數)的自同構群。約翰‧康威(John Horton Conway)和雅魁‧提次(Jacques Tits)隨後簡化了其建構。

格里斯的建構證明了怪獸群的存在。約翰‧湯普森(John G. Thompson)則說明了其做為階為此數的單群的唯一性可由一個196883維忠實表示法的存在得出。該表示法的存在性在1982年為西蒙‧諾頓(Simon P. Norton)提出，然而他從未發表此證明的細節。第一個關於怪獸群唯一性的證明則由格里斯、麥爾法蘭肯菲爾德(Meierfrankenfeld)和塞格夫(Segev)給出。

月光猜想

怪獸群是康威(Conway)和諾頓(Norton)所提出的怪獸月光理論的兩個主要成份之一。此猜想與離散和非離散數學相關，並在1992年為理查‧伯切德斯(Richard Borcherds)所證明。

在此設定下，怪獸群可由怪獸群模組的自同構群示現：亦即由一作用在怪獸李代數上，屬廣義Kac–Moody代數，且包含Griess代數的無窮維代數的頂點算子代數示現而出。

表示與維度

　　一個忠實的複數表示的最小度數是196,883，它是怪獸群階數可分得3個因子乘積的分割。當中怪獸群的最小忠實排列表示是 2⁴ · 3⁷ · 5³ · 7⁴ · 11 · 13² · 29 · 41 · 59 · 71 (約 10²⁰)點。他可被視為有理數上的一個伽羅瓦群(Thompson 1984，p. 443)而實現，並視為一個胡爾維茲群(Hurwitz group)(Wilson 2004)。

　　怪獸群在單群中並不平常，因並沒有已知的簡單規則或方法可表示他的元素，而這並非起因於他大小的表示因素。例如，單群"A"₁₀₀和SL₂₀（2）相對是大，但容易計算，因為它們是具已知的置換或線性表示；交錯群具有與之的大小相較下的置換表示，且所有有限單李型式群有線性表示。除了怪物群之外的所有散單群體也具有足夠小的線性表示，以至於它們易於在計算機上工作（而難度僅次於怪物群的，為可分割成維度4370的小怪獸群(baby Monster)表示）。

麥凱的E₈觀察

怪獸群和擴張登金圖(Dynkin diagram)${\tilde {E}}_{8},$亦存在着關係，其關聯在圖結點與怪獸群同餘類之間表現得更明顯，此關聯又被稱作「麥凱的E₈觀察」(McKay's E₈ observation)

子群結構

Sporadic Finite Groups Showing (Sporadic) Subgroups

怪獸群包含了至少44個共軛類的極大子群。六十數種同構類型的非交換單群，亦包含在怪獸群中，做為怪獸群的子群或子群的商群。

怪獸群的子群包括了26個散在群中的多數，但非全部的散在群都是它的子群。一旁所示之圖是基於馬克‧羅南(Mark Ronan)所撰的書《Symmetry and the Monster》的，表明這些散在單群是如何與彼此產生關係的。線段表示下方的群被其上的群所包含，並為其上的群的子商。圈起來的符號，表示該符號所代表的群不被包含於其他更大的散在單群中。為了清楚表明，多餘的包含關係在此圖中未表示。

• 2.B   對合(involution)的中心化子(Centralizer);包含一Sylow 47-子群的正規化子(normalizer) (47:23) × 2 。
• 2¹⁺²⁴.Co₁   對合的中心化子。
• 3.Fi₂₄  階數3子群的正規化子;包含一Sylow 29-子群的正規化子((29:14) × 3).2。
• 2².²E₆(2²):S₃   一Klein 4-群的正規化子。
• 2¹⁰⁺¹⁶.O₁₀⁺(2)
• 2^2+11+22.(M₂₄ × S₃)   一Klein 4-群的正規化子; 含一Sylow 23-子群的正規化子(23:11) × S₄。
• 3¹⁺¹².2Suz.2   階數3子群的正規化子。
• 2^5+10+20.(S₃ × L₅(2))
• S₃ × Th   階數3子群的正規化子;含一Sylow 31-子群的正規化子(31:15) × S₃ 。
• 2^3+6+12+18.(L₃(2) × 3S₆)
• 3⁸.O₈⁻(3).2₃
• (D₁₀ × HN).2   階數5子群的正規化子。
• (3²:2 × O₈⁺(3)).S₄
• 3²⁺⁵⁺¹⁰.(M₁₁ × 2S₄)
• 3^3+2+6+6:(L₃(3) × SD₁₆)
• 5¹⁺⁶:2J₂:4   階數5子群的正規化子。
• (7:3 × He):2   階數7子群的正規化子。
• (A₅ × A₁₂):2
• 5³⁺³.(2 × L₃(5))
• (A₆ × A₆ × A₆).(2 × S₄)
• (A₅ × U₃(8):3₁):2   含一Sylow 19-子群的正規化子((19:9) × A₅):2 。
• 5²⁺²⁺⁴:(S₃ × GL₂(5))
• (L₃(2) × S₄(4):2).2   含一Sylow 17-子群的正規化子 ((17:8) × L₃(2)).2 。
• 7¹⁺⁴:(3 × 2S₇)   階數7子群的正規化子。
• (5²:4.2² × U₃(5)).S₃
• (L₂(11) × M₁₂):2   包含階數11子群的正規化子(11:5 × M₁₂):2 。
• (A₇ × (A₅ × A₅):2²):2
• 5⁴:(3 × 2L₂(25)):2₂
• 7²⁺¹⁺²:GL₂(7)
• M₁₁ × A₆.2²
• (S₅ × S₅ × S₅):S₃
• (L₂(11) × L₂(11)):4
• 13²:2L₂(13).4
• (7²:(3 × 2A₄) × L₂(7)):2
• (13:6 × L₃(3)).2   階數13子群的正規化子。
• 13¹⁺²:(3 × 4S₄)   階數13子群的正規化子; 一Sylow 13-子群的正規化子。
• L₂(71)   Holmes & Wilson (2008) 含一Sylow 71-子群的正規化子71:35。
• L₂(59)   Holmes & Wilson (2004) 含一Sylow 59-子群的正規化子59:29。
• 11²:(5 × 2A₅)   Sylow 11-子群的正規化子。
• L₂(41)   Norton & Wilson (2013) 找到此形式的極大子群; 此是由於Zavarnitsine指出一些先前的沒有這樣的極大子群存在。
• L₂(29):2   Holmes & Wilson (2002)
• 7²:SL₂(7)  一些過去7-局部子群的表中此被意外地忽略了。
• L₂(19):2   Holmes & Wilson (2008)
• 41:40   一Sylow 41-子群的正規化子。

相關條目

• 超級單獨質數：魔群階數的質因數

參照

• 約翰·何頓·康威 and S. P. Norton, Monstrous Moonshine, Bull. London Math. Soc. 11 (1979), no. 3, 308–339.
• 約翰·何頓·康威; Curtis, R. T.; Norton, S. P.; Parker, R. A.; and Wilson, R. A.: Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups. Oxford, England 1985.
• Griess, Robert L., The structure of the monster simple group, Scott, W. Richard; Gross, Fletcher (編), Proceedings of the Conference on Finite Groups (Univ. Utah, Park City, Utah, 1975), Boston, MA: Academic Press: 113–118, 1976, ISBN 978-0-12-633650-4, MR 0399248 
• Griess, Robert L., The friendly giant, Inventiones Mathematicae, 1982, 69 (1): 1–102, ISSN 0020-9910, MR 0671653, doi:10.1007/BF01389186 
• Griess, Robert L; Meierfrankenfeld, Ulrich; Segev, Yoav, A uniqueness proof for the Monster, 數學年刊, 1989, 130 (3): 567–602, ISSN 0003-486X, JSTOR 1971455, MR 1025167, doi:10.2307/1971455 
• Harada, Koichiro, Mathematics of the Monster, Sugaku Expositions, 2001, 14 (1): 55–71, ISSN 0898-9583, MR 1690763 
• P. E. Holmes and R. A. Wilson, A computer construction of the Monster using 2-local subgroups, J. London Math. Soc. 67 (2003), 346–364.
• Ivanov, A. A., The Monster Group and Majorana Involutions, Cambridge tracts in mathematics 176, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88994-0 
• S. A. Linton, R. A. Parker, P. G. Walsh and R. A. Wilson, Computer construction of the Monster, J. Group Theory 1 (1998), 307–337.
• S. P. Norton, The uniqueness of the Fischer-Griess Monster, Finite groups—coming of age (Montreal, Que., 1982), 271–285, Contemp. Math., 45, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1985.
• M. Ronan, Symmetry and the Monster, Oxford University Press, 2006, ISBN 0-19-280722-6 (concise introduction for the lay reader).
• 馬庫斯·杜·索托伊, Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (another introduction for the lay reader; published in the US by HarperCollins as Symmetry, ISBN 978-0-06-078940-4).
• Thompson, John G., Some finite groups which appear as Gal L/K, where K ⊆ Q(μ_n), Journal of Algebra, 1984, 89 (2): 437–499, MR 0751155, doi:10.1016/0021-8693(84)90228-X 
• Robert A. Wilson. The Monster is a Hurwitz group. Journal of Group Theory. 2001-09-11, 4 (4) [2018-04-02]. ISSN 1435-4446. doi:10.1515/jgth.2001.027. （原始內容存檔於2016-04-01） （英語）. 

外部連結

• MathWorld: Monster Group （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Atlas of Finite Group Representations: Monster group （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Abstruse Goose: Fischer-Griess Monster （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）