在數學中,低維拓撲拓撲學中研究二、三、四維流形或更廣義的拓撲空間的一個分支。有代表性的研究主題包括三維流形四維流形英語4-manifold、扭結和辮群等的結構理論。低維拓撲是幾何拓撲學的一部分。

歷史

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自1960年起,一系列的論文逐漸引起了數學界對低維拓撲的關注。1961年,斯梅爾(英語:Smale)證明了在五維以上,龐加萊猜想是成立的[1]。對於一維二維的龐加萊猜想,人們早已熟知。於是在當時,三維四維的龐加萊猜想似乎是最難以證明的,因為在高維度中所使用的證明方法並不適用於三維四維的情形。1980年代初,威廉·瑟斯頓(英語:Thurston)的幾何化猜想[2],預示着低維幾何和低維拓撲有緊密的關係。1980年代早期,沃恩·瓊斯(英語:Vaughan Jone)發現了瓊斯多項式[3],將紐結理論引向新的研究方向,並且瓊斯多項式中含藏着低維拓撲和數學物理的聯繫。

二維拓撲空間

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曲面是一個二維的拓撲流形。我們最熟悉的例子是歐幾里得空間中三維實心體的邊界,例如三維球體的邊界。除此之外,也有一些曲面不能被嵌入三維歐式空間中,例如克萊因瓶

閉曲面的分類

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閉曲面的分類理論陳述如下[4]:任意連通的閉曲面屬於以下三種類別之一

  1. 球面
  2. g環面連通和,這裏 
  3. k實射影平面連通和,這裏 

前兩個類別的曲面是可定向的,若把球面當成是0個環面連通和,那麼第一個類別可歸入第二個類別。第二個類別中,數字g被叫做曲面的虧格。曲面的虧格歐拉示性數有一定聯繫:對於g個環面的連通和,它的歐拉示性數為2 − 2g.

三維拓撲空間

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定義

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如果一個拓撲空間 滿足以下條件,那麼 是一個三維拓撲流形[5]

  1.  第二可數空間
  2.  豪斯多夫空間
  3.  上每一個點都被包含於一個開集,而且這個開集和三維歐式空間同胚

三維流形理論

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在三維情況,拓撲流形、分段線性流形、光滑流形三個範疇都等價,因此很少會刻意區分三維流形是屬於哪一類。三維流形中的現象和其他維度的現象有着巨大的差別,因此有許多研究方法專門適用於三維流形,而不能被推廣至更高的維度。三維流形的特殊性,導致了三維流形和許多領域有着密切的聯繫,例如:紐結理論幾何群論雙曲幾何數論拓撲量子場論規範場論Floer同調論英語Floer homology偏微分方程。三維流形理論被劃分為低維拓撲或幾何拓撲學的一部分。

參考來源

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  1. ^ Stephen Smale, Generalized Poincaré's conjecture in dimensions greater than four. Ann. of Math. (2) 74 1961 391--406. MR0137124
  2. ^ Thurston, W. P. Three-Dimensional Manifolds, Kleinian Groups and Hyperbolic Geometry. Bull. Amer. Math. Soc. 6, 357-381, 1982.
  3. ^ Introduction to Jones Polynomial頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)Vaughan F.R. Jones.[2005-8-12]
  4. ^ Francis, George K.; Weeks, Jeffrey R., Conway's ZIP Proof (PDF), American Mathematical Monthly, May 1999, 106 (5) [2017-11-28], doi:10.2307/2589143, (原始內容 (PDF)存檔於2010-06-12), page discussing the paper: On Conway's ZIP Proof 
  5. ^ John M. Lee. Introduction to Smooth Manifold 2. New York: Springer. : 3. ISBN 978-1-4419-9981-8. 

外部連結

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