四次平面曲線

四次平面曲線quartic plane curve)是四英語degree of a polynomial的平面代數曲線,可以表示為以下的多變數四次方程:

A, B, C, D, E中至少要有一個不為0。方程式有15個常數,不過方程式若乘以非零的任意數,不會改變曲線,因此可以將其中一個常數固定為1,留下14個可調整的常數。四次曲線的空間可以視為是實射影空間。依照克萊姆定理英語Cramer's theorem (algebraic curves),若考慮一般位置下14個不同的點,通過這十四個點的四次平面曲線唯一,因此四次平面曲線的自由度為14。

四次曲線最多可以有:

也可以考慮在其他數學(甚至是)中的四次曲線,例如在複數中的四次曲線。此時可以得到黎曼曲面,在C上是一維的物件,但在R上是二維的物件。例如Klein四次曲線英語Klein quartic,另外也可以探討射影平面下的曲線,由齊次多項式所定義。

舉例

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&符號曲線
Bean曲線
Bicuspid曲線
Bow 曲線
Cruciform曲線,紅色的參數(b,a)為(1,1),綠色的參數為(2,2)
Cruciform曲線,紅色的參數(b,a)為(1,1),綠色的參數為(2,1),藍色的參數為(3,1)
笛卡兒坐標系下的三葉線
極坐標系下的三葉線

上述曲線中,系數的不同組合產生了以下重要的曲線族。

&符號曲線

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&符號曲線(ampersand curve)是以下方程對應的四次曲線

 

虧格為0,有三個一般的雙點,都在實數平面上。[1]

Bean曲線

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Bean曲線(bean curve)是以下方程對應的四次曲線

 

其虧格為0,在原點有一個奇點,是一個一般的三次點[2] [3]

Bicuspid曲線

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bicuspid是方程式如下的四次曲線:

 

其中a決定了曲線的大小。 bicuspid只有二個node為奇異點,因此是虧格為1的曲線。 [4]

Bow曲線

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Bow曲線是方程式如下的四次曲線:

 

x=0, y=0處有單一的三重點,是有理曲線,虧格為0。 [5]

Cruciform曲線

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Cruciform曲線是以下方程的四次曲線

 

其中ab為決定曲線形狀的參數。 Cruciform曲線可以透過一個標準的二次變換x ↦ 1/x, y ↦ 1/y轉變為橢圓a2x2 + b2y2 = 1,因此是虧格為0的有理平面代數曲線。Cruciform曲線在實射影平面中有三個雙重點,是(x=0、y=0),(x=0 、z=0) 以及(y=0、z=0)。 [6]

此曲線是有理曲線,參數化後的結果也是有理函數。例如,令a=1及b=2,可得以下的參數式

 

其中唯一一個無法參數化的點是會讓參數式分母為零的點。

Spiric截面

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Spiric截面英語Spiric section可以定義成對x軸及y軸對稱的圓代數英語Circular algebraic curve四次平面曲線。Spiric截面包括在環面曲線中,其中包括了hippopede英語hippopede卡西尼卵形線。其英文名稱Spiric源自古希臘文的環面σπειρα。

笛卡兒坐標系下的方程式為

 

極座標系的方程式為

 

三葉線

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三葉線(three-leaved clover)是以下方程的四次平面曲線

 

在求解y後,曲線可以表示為以下的方程:

 

其中二個±是彼此獨立的,因此每一個x會對應四個y值。

三葉線的參數式為

 [7]

在極坐標(x = r cos φ, y = r sin φ)下的方程如下

 

這是玫瑰線k = 3的特例。 三葉線在原點處為三重點,有三個二切線。

參考資料

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  1. ^ Weisstein, Eric W. (編). Ampersand Curve. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  2. ^ Cundy, H. Martyn; Rollett, A. P., Mathematical models 2nd, Clarendon Press, Oxford: 72, 1961 [1952], ISBN 978-0-906212-20-2, MR 0124167 
  3. ^ 埃里克·韋斯坦因. Bean Curve. MathWorld. 
  4. ^ Weisstein, Eric W. (編). Bicuspid Curve. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  5. ^ Weisstein, Eric W. (編). Bow. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  6. ^ Weisstein, Eric W. (編). Cruciform curve. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  7. ^ Gibson, C. G., Elementary Geometry of Algebraic Curves, an Undergraduate Introduction, Cambridge University Press, Cambridge, 2001, ISBN 978-0-521-64641-3. Pages 12 and 78.