施泰納-萊穆斯定理

施泰納-萊穆斯定理(Steiner–Lehmus theorem)是平面幾何的一個定理:兩條內角平分線相等的三角形等腰三角形。該命題看似顯而易見,但直到19世紀上半葉才得到明確的幾何證明,隨後成為平面幾何領域最受歡迎的證明題之一。該定理以德國數學家C·L·萊穆斯英語C. L. Lehmus和瑞士數學家雅各布·施泰納英語Jakob Steiner命名,兩人在通信中最早提出和解決了該問題。

是等腰三角形

施泰納-萊穆斯定理的結論並不能推廣到外角平分線上。也就是說,兩條外角平分線相等的三角形不一定是等腰三角形。

歷史

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平面幾何中,「等腰三角形的兩條內角平分線相等」,是一個非常容易得到的結論。該命題的逆命題,「兩條內角平分線相等的三角形是等腰三角形」,則沒有看上去那麼容易證明。1840年,德國數學家C·L·萊穆斯英語C. L. Lehmus寫信給瑞士數學家、幾何學權威雅各布·施泰納英語Jakob Steiner,詢問是否能給出一個純幾何的證明。施泰納解決了問題,不過直到1844年才公開發表。第一個公開證明來自法國路易大帝中學的學生魯熱萬(Rougevin),發表在1842年的《新數學年鑑法語Nouvelles annales de mathématiques》上。1850年,萊穆斯也給出了自己的證明。[1][2][3][4][5]

19世紀40年代起的一百多年裏,關於施泰納-萊穆斯定理的幾何證明大量湧現,有上百個之多。絕大多數證明都依賴於反證法,即先假定兩內角平分線相等的三角形不等腰,其中一個內角大於另一個,然後推出矛盾的結論。於是,關注點變成了,施泰納-萊穆斯定理是否有「直接」的幾何證明法,以及怎樣的證明才算得上是「直接」。不過也有人認為,拒絕反證法的「純粹主義」並沒有什麼意義。[5]

證明

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反證法

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反證法

  中,兩條內角平分線  

假設   ,令  

在線段   上取點  ,使     於點  

         

結論與假設矛盾,故假設不成立。故  [5]

直接證明

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直接證明法

  中,兩條內角平分線   。記   

做直線   ,使  。做直線   ,使  

   
     
     

該證明方法由F. G. Hesse於1874年發表。不過,該證明方法所用到的一些構造和定理,如「三角形內角和為180度」,本身需要用反證法去證明,因此一些純粹主義者認為這一證明還是不夠直接。[6]

代數證明

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利用角平分線長公式,可以簡潔地證明施泰納-萊穆斯定理。[7]

 

化簡後得到:  

連乘的其他各項都為正數,從而推出:  

外角平分線問題

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兩條外角平分線相等的不等腰三角形。易證  

施泰納-萊穆斯定理的結論並不能推廣到外角平分線上。也就是說,兩條外角平分線相等的三角形不一定是等腰三角形。一個常舉的反例是三個內角分別為132度、36度和12度的三角形,因為這個三角形的兩條外角平分線恰等於一條邊,易於證明。[8]

進一步地,數學家們嘗試證明,所有兩條外角平分線相等的不等腰三角形的共性。[8][9]中國數學家蔣聲指出,滿足下列條件的三角形都是有兩條外角平分線相等的不等腰三角形:[10]

 

「兩條外角平分線相等的三角形是等腰三角形」是假命題,不過較弱的命題是成立的:三角形的兩個角的外角平分線相等,若第三個角是最大或最小的角,則該三角形是等腰三角形;不然,則不是等腰三角形。[11]

參考文獻

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  1. ^ Rougevin. Démonstration du théorème 1 (page 57) (PDF). Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale. 1842, 1: 138-139 [2023-06-11]. (原始內容存檔 (PDF)於2023-06-11) (法語). 
  2. ^ Steiner, J. Elementare Lösung einer Aufgabe über das ebene und sphärische Dreieck. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1844, 28: 375-379 [2023-06-11]. (原始內容存檔於2023-06-11) (德語). 
  3. ^ M'Bride, J. “The equal internal bisectors theorem, 1840-1940. … Many solutions or none?”: A centenary account (PDF). Edinburgh Mathematical Notes. 1943, 33: 1-13 [2023-06-11]. doi:10.1017/S0950184300000021. 原始內容存檔於2019-05-02 (英語). 
  4. ^ Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. Geometry Revisited (PDF). Washington, D.C.: The Mathematical Association of America. 1967: 14-16 [2023-06-11]. ISBN 0-88385-619-0. (原始內容存檔 (PDF)於2023-01-28) (英語). 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Sauvé, Léo. The Steiner-Lehmus theorem (PDF). Eureka. 1976, 2: 19-24 [2023-06-17]. (原始內容存檔 (PDF)於2022-04-19) (英語). 
  6. ^ Gardner, Sherri R. A Variety of Proofs of the Steiner-Lehmus Theorem (Master of Science論文). East Tennessee State University: 19. 2013 [2023-06-25]. (原始內容存檔於2023-06-27) (英語). 
  7. ^ Trigg, Charles W. Mathematical Quickies. New York: Dover Publications. 1985: 103 [1967]. ISBN 0-486-24949-2 (英語). 
  8. ^ 8.0 8.1 Trigg, Charles W. Problem 862, Solution I (PDF). Mathematics Magazine. 1974, 1 (1): 52-53 [2023-06-11]. doi:10.2307/2688766. (原始內容存檔 (PDF)於2022-02-13) (英語). 
  9. ^ 吳文俊; 呂學禮. 分角线相等的三角形:初等几何机器证明问题. 北京: 人民教育出版社. 1985. ISBN 9780070120723. 
  10. ^ 蔣聲. 有两条外角平分线相等的不等边三角形. 中等數學. 1989, (01): 12-13. 
  11. ^ 葉余本. 続.二等辺三角形の性質の一つの研究. 日本數學教育學會誌. 1984, 66 (11): 45-49 [2023-06-11]. doi:10.32296/jjsme.66.11_45. (原始內容存檔於2023-06-11).