旁切圓

每個三角形都有3個旁切圓，各與三角形其中一邊和另外兩邊的邊延長線相切。每個旁切圓的圓心稱為旁心，分別是三角形的一條內角平分線和另外兩個角的外角平分線的交點，一般記為J。

三角形的內切圓（藍色）與三個旁切圓（橙色）

性質

三角形關於頂點A、B、C的旁切圓的半徑分別是${\frac {2A}{-a+b+c}}$、${\frac {2A}{a-b+c}}$和${\frac {2A}{a+b-c}}$，其中$A$表示三角形面積，a、b、c分別是A、B、C的對邊。

旁切圓和內切圓有密切的聯繫。它們都與九點圓相切，切點稱為費爾巴哈點。三個旁心與內心組成一個垂心組，也就是說內心是三個旁心所組成的三角形的垂心，而相應的三個垂足則是旁心所對的頂點。

在右圖中，I、B、C、J_A四點共圓，其中IJ_A是這個圓的直徑，而圓心P_A在三角形ABC的外接圓上，並且過BC的中垂線，即等分劣弧BC。對其它兩邊也有同樣的結果。

對於一個頂點（比如A）所對的旁切圓，三角形ABC的外接圓半徑R、A所對旁切圓半徑r_A以及內外心間距OJ_A之間有如下關係：

$OJ_{A}^{2}-R^{2}=2Rr_{A}$

旁切圓與三角形的邊（或其延長線）相切的點稱為旁切點。從一個頂點沿着三角形的邊走到與之相對的旁切圓在對邊的切點所用的距離必定是周長的一半，也就是說，這個頂點和它「對面」的旁切點將三角形的周界等分為兩半。將三角形的每個頂點和與之相對的旁切圓關於對邊的旁切點連起，則根據塞瓦定理，三線交於一點，這個點稱為奈格爾點。

內切圓在一邊上的切點與旁切圓在該邊的切點之間的距離恰好是另外兩邊的差（絕對值）。比如說，A的對邊：BC上面的內切點和外切點之間的距離等於$|AB-AC|$。

坐標表示

在三線性坐標系中，三個旁心的坐標分別是-1:1:1、1:-1:1和1:1:-1。

在直角座標系中，若頂點的座標分別為$(x_{1},y_{1})$、$(x_{2},y_{2})$、$(x_{3},y_{3})$，則三個旁心的座標為：

$J_{a}=({\frac {-ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{-a+b+c}},{\frac {-ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{-a+b+c}}),J_{b}=({\frac {ax_{1}-bx_{2}+cx_{3}}{a-b+c}},{\frac {ay_{1}-by_{2}+cy_{3}}{a-b+c}}),J_{c}=({\frac {ax_{1}+bx_{2}-cx_{3}}{a+b-c}},{\frac {ay_{1}+by_{2}-cy_{3}}{a+b-c}})$

參見

• 外接圓
• 內切圓
• 九點圓
• 雞爪定理——三角形內心、旁心、頂點的位置關係
• 偽內切圓——與三角形兩邊及外接圓相切的圓