艾森斯坦整數

艾森斯坦整數是具有以下形式的複數

艾森斯坦整數是複數平面上三角形點陣的交點。
各式各樣的
基本

延伸
其他

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無限大

其中ab整數,且

是三次單位根。艾森斯坦整數在複數平面上形成了一個三角形點陣。高斯整數則形成了一個正方形點陣。

性質

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艾森斯坦整數在代數數體 中形成了一個代數數交換環。每一個z = a + bω都是首一多項式

 

的根。特別地,ω滿足以下方程:

 

因此,艾森斯坦整數是代數數

艾森斯坦整數的範數是它的絕對值的平方,由以下的公式給出:

 

因此它總是整數。由於:

 

因此非零艾森斯坦整數的範數總是正數。

艾森斯坦整數環中的可逆元素群,是複數平面中六次單位根所組成的循環群。它們是:

{±1, ±ω, ±ω2}

它們是範數為一的艾森斯坦整數。

艾森斯坦質數

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xy是艾森斯坦整數,如果存在某個艾森斯坦整數z,使得y = z x,則我們說x能整除y

它是整數的整除概念的延伸。因此我們也可以延伸質數的概念:一個非可逆元素的艾森斯坦整數x是艾森斯坦質數,如果它唯一的因子是ux的形式,其中u是六次單位根的任何一個。

我們可以證明,任何一個被3除餘1的質數都具有形式x2xy+y2,因此可以分解為(xy)(x2y)。因為這樣,它在艾森斯坦整數中不是質數。被3除餘2的質數則不能分解為這種形式,因此它們也是艾森斯坦質數。

任何一個艾森斯坦整數a + bω,只要範數a2ab+b2為質數,那麼就是一個艾森斯坦質數。實際上,任何一個艾森斯坦整數要麼就是這種形式,要麼就是一個可逆元素和一個被3除餘2的質數的乘積。

歐幾里德域

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艾森斯坦整數環形成了一個歐幾里德域,其範數N由以下的公式給出:

 

這是因為:

 

參見

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參考文獻

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  • Bachmann, P. Allgemeine Arithmetik der Zahlkörper. p. 142.
  • Cox, D. A. §4A in Primes of the Form x2+ny2: Fermat, Class Field Theory and Complex Multiplication. New York: Wiley, 1989.
  • Guy, R. K. "Gaussian Primes. Eisenstein-Jacobi Primes." §A16 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 33-36, 1994.
  • Wagon, S. "Eisenstein Primes." §9.8 in Mathematica in Action. New York: W. H. Freeman, pp. 319-323, 1991.

外部連結

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