超方形

透視投影
立方體（3-超方形）	超立方體（4-超方形）

在幾何學中，超方形（英語：Hypercube），又稱立方形、正測形（Measure Polytope）是指正方形和立方體的n維類比（對於正方形，n=2，對於立方體，n=3）。它是一類封閉的、緊緻的、凸的圖形，它們的1維骨架是由一群在其所在空間對準每個維度整齊排列的等長的線段組成的，其中相對的線段互相平行，而相交於一點的線段則互相正交。在n維空間中單位超方形（棱長為1）的對角線長等於 ${\sqrt {n}}$ .

一個n維的超方形又被叫做n-超方形。「正測形」（Measure Polytope）也是一個常用的名字，尤其是在H.S.M.考克斯特的文章中（這個詞最先是由Elte，1912發明的^[1]），但它現在已被「超方形」和「立方形」代替了。（而然在日本，由「Measure Polytope」翻譯過來的「正測形」仍在使用）

超方形是一種特殊的超矩形（英語：Hyperrectangle）（也被叫做正交形）。

一個單位超方形是棱長為1個單位長度的超方形。通常，一個角（或叫頂點）是2ⁿ個在Rⁿ中的各坐標值等於0或1的點的超方形被特指為在這個坐標系下的基本單位超方形。

構造

一個展示如何從一個點構造出一個超正方體的圖像

0 – 點是零維唯一的超方形。

1 – 如果讓這個點移動一個單位長度，它會掃出一個線段，這就是一維的單位超方形。

2 – 如果讓這個線段沿着垂直於它自己的方向移動一個單位長度，它就會掃出一個二維的正方形。

3 – 如果讓這個正方形沿着垂直於它所在平面的方向移動一個單位長度，它就會創造出一個三維的立方體。

4 – 如果讓這個立方體沿着垂直於它所在空間的第四方向移動一個單位長度，它就會產生出一個四維的單位超方形（一個單位四維超正方體）。

這個過程可以被推進到任意維度。這個掃出體積的過程可以被數學形式化為閔可夫斯基和：d維超方形是d個互相垂直的單位長度線段的閔可夫斯基和，因此超方形是環帶多面體的一個很好的例子。

超方體的1階骨架是一個超方形圖（英語：hypercube graph）。

頂點坐標

n維的單位超方形是所有由直角坐標系 $\left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\cdots ,\pm {\frac {1}{2}}\right)$ 的所有符號排列所對應的點組成的凸包。它的棱長為1，而它的n維超體積是1。

一個n維超方形有時也被表示為直角坐標 $(\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)$ 的所有符號排列所對應的點組成的凸包。這頂點坐標寫法因為簡便而經常被使用。它的棱長是2，而n維超體積是2ⁿ。

與其它多胞形家族的關係

超方形家族是少有的幾個在任何維度都出現的正多胞形家族之一。

超方形家族是三個正多胞形家族之一，被考克斯特標記為γ_n。另外兩個是超方形對偶正軸形家族，標記為β_n，以及正單體家族，標記為α_n。例外，還有第四個不由凸正多胞形而是正無窮胞形，即超空間密鋪組成的家族超方形堆砌家族，標記為δ_n，它們是超方形的超空間密鋪。

另外一個與超方形相關的由一系列半正多胞形（英語：Uniform polytope）組成的半正家族是半超方形家族，它們可由交錯地刪除對應維度超方形的頂點並在切口上添加新的正單體面來構造，標記為hγ_n。

元素

任何一個n-超方體（n>0）都是由低維的超方形元素組成的：它的(n-1)維表面（「維面」）是(n-1)維的超方形，它的(n-2)維邊緣（「維脊」）是(n-2)維的超方形，它的(n-3)維元素（「維頂」）是(n-3)維的超方形…… n維的超方形有2n個維面（一維線段有兩個端點；二維正方形有4條邊或叫棱；三維立方體有6個面；四維超正方體有8個胞……）和 $2^{n}$ 個頂點（例如，立方體有 $2^{3}$ 個頂點）。

一個簡單的計算n-超方體"n-2"-面個數的公式是： $2n^{2}-2n$

n-超方形表面上m維超方形（0≤m≤n）的個數是：

E_{m,n}=2^{n-m}{\begin{smallmatrix}{n \choose m}\end{smallmatrix}}

, 這裏

{\begin{smallmatrix}{n \choose m}\end{smallmatrix}}={\tfrac {n!}{m!\,(n-m)!}}

並且n!代表着n的階乘。

例如，四維超正方體（n=4）包含了8個立方體（3-超方體）、24個正方形（2-超方體）、32個線段（1-超方體）和16個點（0-超方體）。

這個特性能夠用組合學來證明。 $2^{n}$ 個頂點中的每一個都決定了n-超方體的一個 $m$ 維表面。我們有 ${\begin{smallmatrix}{n \choose m}\end{smallmatrix}}$ 種方法來選擇哪些線段（「邊」）決定了這表面所在的空間。但是因為每個表面都有 $2^{m}$ 個頂點，所以每個表面都被算了 $2^{m}$ 次，因此我們需要將結果再除以這個數。由此我們得到了上述性質。

這個結果也能被遞歸關係式產生出來。

E_{m,n}=2E_{m,n-1}+E_{m-1,n-1}\!

, 並且

E_{0,0}=1\!

, 並且未定義的元素 = 0.

例如，將二維空間中的正方形向三維空間延伸，在4個頂點處延伸出4條棱，最後加上第二個正方形來形成一個立方體，我們能算出總共有 $E_{1,3}\!$ = 12 條棱。

超方形的元素 $E_{m,n}\!$
			m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	γ_n	n-超方形	名稱施萊夫利符號考克斯特符號（英語：Coxeter-Dynkin diagram）	頂點	棱	面	胞 (3維面)	4維面	5維面	6維面	7維面	8維面	9維面	10維面
-1	γ_-1	-1-超方形	空多胞形 -
0	γ₀	0-超方形	頂點 (幾何) -	1
1	γ₁	1-超方形	線段 {}	2	1
2	γ₂	2-超方形	正方形正四邊形 {4,3}	4	4	1
3	γ₃	3-超方形	立方體正六面體 {4,3,3}	8	12	6	1
4	γ₄	4-超方形	四維超正方體正八胞體 {4,3,3,3}	16	32	24	8	1
5	γ₅	5-超方形	五維超正方體五維正十胞體 {4,3,3,3,3}	32	80	80	40	10	1
6	γ₆	6-超方形	六維超立方體（英語：6-cube）六維正十二胞體 {4,3,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	1
7	γ₇	7-超方形	七維超立方體（英語：7-cube）七維正十四胞體 {4,3,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	1
8	γ₈	8-超方形	八維超立方體（英語：8-cube）八維正十六胞體 {4,3,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9	γ₉	9-超方形	九維超立方體（英語：9-cube）九維正十八胞體 {4,3,3,3,3,3,3,3,3}	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1
10	γ₁₀	10-超方形	十維超立方體（英語：10-cube）十維正二十胞體 {4,3,3,3,3,3,3,3,3,3}	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

圖像

一個n維超正方體能通過一個扭曲正交投影（英語：Petrie_polygon#The_hypercube_and_orthoplex_families）投影到2n邊形中，這裏展示出了從線段到十五維超正方體的15個超方形。

皮特里多邊形正交投影
線段	正方形	立方體
4-超方體 (超正方體)	5-超方體 (五維超正方體)	6-超方體 (六維超正方體)
7-超方體 (七維超正方體)	8-超方體 (八維超正方體)	9-超方體 (九維超正方體)
10-超方體(十維超正方體)	11-超方體 (十一維超正方體)	12-超方體 (十二維超正方體)
13-超方體 (十三維超正方體)	14-超方體 (十四維超正方體)	15-超方體 (十五維超正方體)

與n-單體的關係

n-超方體的棱的圖像等距同構於(n-1)-單體的表面框架（英語：Convex polytope#The_face_lattice）的哈斯圖。這種特殊關係可以通過以適當的角度看n-超方體使得相對的兩個頂點處在圖像的兩個頂點，對應於(n-1)-單體自己和空集元素。每一個與最上方的頂點相連的頂點唯一的映射到(n-1)-單體的維面，再與之相連的頂點映射到單體的維脊，如此等等，並且與最下方的頂點相連的頂點映射到單體的棱。

這個特殊關係可以被用來高效地產生(n-1)-單體的表面框架，畢竟可用於計算所有多胞形表面框架的一般方法在計算上比較困難。

另見

超正八面體對稱群（英語：Hyperoctahedral group），超方形的對稱性
超球面
單體
超立方體互聯網絡，網絡工程學

註釋

^ Elte, E. L. The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces. Groningen: University of Groningen. 1912. Chapter IV, five dimensional semiregular polytope [1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

參考

Bowen, J. P. Hypercubes. Practical Computing. April 1982, 5 (4): 97–99. （原始內容存檔於2008-06-30）.
Coxeter, H. S. M. 《正多胞形》 3rd. Dover. 1973: 123. ISBN 0-486-61480-8. p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n dimensions (n ≥ 5)
Hill, Frederick J.; Gerald R. Peterson. Introduction to Switching Theory and Logical Design: Second Edition. NY: John Wiley & Sons. 1974. ISBN 0-471-39882-9. Cf Chapter 7.1 "Cubical Representation of Boolean Functions" wherein the notion of "hypercube" is introduced as a means of demonstrating a distance-1 code (Gray code) as the vertices of a hypercube, and then the hypercube with its vertices so labelled is squashed into two dimensions to form either a Veitch diagram or Karnaugh map.

外部連結

埃里克·韋斯坦因. Hypercube. MathWorld.
埃里克·韋斯坦因. Hypercube graphs. MathWorld.
Olshevsky, George, Measure polytope at Glossary for Hyperspace.
www.4d-screen.de （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） (Rotation of 4D – 7D-Cube)
Rotating a Hypercube （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） by Enrique Zeleny, Wolfram Demonstrations Project.
Stereoscopic Animated Hypercube （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Rudy Rucker and Farideh Dormishian's Hypercube Downloads

[1] Elte, E. L. The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces. Groningen: University of Groningen. 1912. Chapter IV, five dimensional semiregular polytope [1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

[1]