5040

5040是5039及5041之間的自然數，為7的階乘($7!$)、超級高合成數、Colossally過剩數和置換數($10\times 9\times 8\times 7=5040$)。

5040

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命名
小寫	五千零四十
大寫	伍仟零肆拾
序數詞	第五千零四十 five thousand and fortieth
識別
種類	整數
性質
質因數分解	${\displaystyle }$$2^{4}\times 3^{2}\times 5\times 7$
表示方式
值	5040
花碼	〥〇〤〇
算籌
希臘數字	,ΕΜ´
羅馬數字	VXL
二進制	1001110110000(2)
三進制	20220200(3)
四進制	1032300(4)
五進制	130130(5)
八進制	11660(8)
十二進制	2B00(12)
十六進制	13B0(16)

哲理

柏拉圖在法律篇指出5040是一個適合用來把東西除分的數字，可以用來劃分土地。他指出此數字跟2520一樣可由1至12（11除外）的之間所有自然數整除，他也發現此數字可由12整除兩次。柏拉圖多次主張5040是這個數字的用途有很多。

讓-皮埃爾·卡汗認爲柏拉圖透過5040帶出高合成數的概念。

數字理論

如果$\sigma (n)$是除數函數及$\gamma$是歐拉-馬斯刻若尼常數，5040是最大已知符合此不等的數字（OEIS數列 A067698）：

$\sigma (n)\geq e^{\gamma }n\log \log n$.

因爲在極限中有此公式：

$\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ \log \log n}}=e^{\gamma }.$

所以這定理並不平常。

蓋伊·羅賓（Guy Robin）在1984年指出當且僅當黎曼猜想爲真，這個不等不適用於任何更大的數字。

數學意義

• 包括1和5040，5040有60個因數。

• 合數，正因數有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、14、15、16、18、20、21、24、28、30、35、36、40、42、45、48、56、60、63、70、72、80、84、90、105、112、120、126、140、144、168、180、210、240、252、280、315、336、360、420、504、560、630、720、840、1008、1260、1680、2520和5040。

  質因數分解為$2^{4}\times 3^{2}\times 5\times 7$。

• 過剩數，真因數和為14304，盈度為9264。
• 第19個高合成數。前一個為2520、下一個為7560。
• 7的階乘。前一個為720、下一個為40320。
• 十進制的哈沙德數。
• 十進制的奢侈數。
• 5040既是高合成數，又是階乘數的數，為最大符合此條件的數。
• 5040是42個連續的質數的總和（23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47 + 53 + 59 + 61 + 67 + 71 + 73 + 79 + 83 + 89 + 97 + 101 + 103 + 107 + 109 + 113 + 127 + 131 + 137 + 139 + 149 + 151 + 157 +163 + 167 + 173 + 179 + 181 + 191 + 193 + 197 + 199 + 211 + 223 + 227 + 229）。
• 5040是數秘術中一個重要的數，尤其是與圓形和球體有關的數。地球半徑和月球半徑的總和是3960 + 1080 = 5040。

外部連結

• Mathworld 介紹柏拉圖數字的文章（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）